8 класс Алгебра 10 мин чтения

Множества. Числовые множества

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Множество — фундаментальное понятие математики: любая чётко определённая совокупность объектов, а числовые множества — это множества чисел разной природы, упорядоченные по включению от натуральных до вещественных.

Проверь себя · 1 из 3

Какому из множеств

Q

или

R ∖ Q

принадлежит

2

Понятие множества пронизывает всю математику: без него не запишешь область определения функции, не сформулируешь теорему о корнях уравнения, не объяснишь, почему $- 1$ «не существует» в задаче про длину. Умея работать с множествами, ты будешь точно понимать, о каких числах идёт речь в каждой задаче.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Содержание 9

Понятие множества и способы его задания

Множество — это совокупность объектов (элементов), объединённых каким-либо свойством. Объекты называют элементами множества.

Обозначения: множества — заглавными буквами ( $A$ , $B$ , $N$ , $Z$ , …), элементы — строчными ( $a$ , $x$ , $1$ , …).

Запись принадлежности:

$a \in A$ — элемент $a$ принадлежит множеству $A$
$b \in / A$ — элемент $b$ не принадлежит множеству $A$

Три способа задать множество:

Перечисление элементов: $A = {1, 2, 3, 4}$
Характеристическое свойство: $B = {x ∣ x > 0, x \in Z}$ (читай: «все целые числа, большие нуля»)
Графически на числовой оси (для числовых множеств) или кругами Эйлера (для наглядности соотношений)

Особые множества:

Пустое множество $\emptyset$ — не содержит ни одного элемента (например, решение уравнения $x^{2} = - 1$ в вещественных числах)
Конечное множество имеет ограниченное число элементов; бесконечное — нет

Два множества равны, если состоят из одних и тех же элементов: $A = B \Leftrightarrow (A \subset B$ и $B \subset A)$ .

Подмножество. Операции над множествами

Подмножество: $A \subset B$ означает, что каждый элемент $A$ является элементом $B$ . Говорят: « $A$ является подмножеством $B$ » или « $A$ включено в $B$ ».

Пример: ${2, 4} \subset {1, 2, 3, 4, 5}$ .

Важно: $\emptyset \subset A$ для любого множества $A$ , и $A \subset A$ (каждое множество — подмножество самого себя).

Основные операции:

Объединение $A \cup B$ — множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств:

$A \cup B = {x ∣ x \in A или x \in B}$

Пересечение $A \cap B$ — множество элементов, принадлежащих одновременно обоим:

$A \cap B = {x ∣ x \in A и x \in B}$

Разность $A ∖ B$ — элементы $A$ , не входящие в $B$ :

$A ∖ B = {x ∣ x \in A и x \in / B}$

Если $A \cap B = \emptyset$ , говорят, что множества не пересекаются.

Пример. Пусть $A = {1, 2, 3, 4}$ , $B = {3, 4, 5, 6}$ :

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$
$A \cap B = {3, 4}$
$A ∖ B = {1, 2}$

Числовые множества и отношение включения

В школьной математике изучают несколько фундаментальных числовых множеств, которые расширяются по мере знакомства с новыми числами.

Множество	Примеры
$N$ , натуральные	$1$ , $2$ , $3$ , $\dots$
$Z$ , целые	$\dots$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$
$Q$ , рациональные	$\frac{1}{2}$ , $- 3$ , $0, 75$ , $7$
$I$ , иррациональные	$2$ , $π$ , $35$
$R$ , вещественные	все числа числовой оси

Цепочка включений: $N \subset Z \subset Q \subset R$

Иррациональные числа не входят в $Q$ , но вместе с рациональными образуют $R$ : $R = Q \cup I$ , при этом $Q \cap I = \emptyset$ .

Рациональные числа — это числа вида $\frac{m}{n}$ , где $m \in Z$ , $n \in N$ . В десятичной записи они дают конечную или бесконечную периодическую дробь.

Иррациональные числа нельзя представить в виде $\frac{m}{n}$ ; их десятичная запись — бесконечная непериодическая дробь. Например, $2 = 1, 41421356 \dots$ — период не возникает никогда.

Числовые промежутки как числовые множества

Числовой промежуток — это подмножество $R$ , заданное неравенством. Промежутки — важнейший инструмент при записи областей определения и решений неравенств.

Виды промежутков:

Отрезок $[a, b] = {x ∣ a \leq x \leq b}$ — оба конца включены (закрашенные точки)
Интервал $(a, b) = {x ∣ a < x < b}$ — оба конца не включены (пустые точки)
Полуинтервал $[a, b) = {x ∣ a \leq x < b}$ или $(a, b] = {x ∣ a < x \leq b}$
Луч $[a, + \infty) = {x ∣ x \geq a}$ ; $(- \infty, b] = {x ∣ x \leq b}$
Числовая прямая $(- \infty, + \infty) = R$

Знак $\infty$ — это не число, поэтому бесконечность всегда записывается с круглой скобкой (не включается в промежуток).

Операции над промежутками — частный случай операций над множествами. Например: $[1, 5] \cap (3, 7) = (3, 5]$ , потому что нужны числа, удовлетворяющие обоим условиям: $x \geq 1$ , $x \leq 5$ , $x > 3$ , $x < 7$ , то есть $3 < x \leq 5$ .

Применение теории множеств: область определения и область значений

Теория множеств — язык, на котором говорят о функциях.

Область определения функции $f$ — это множество допустимых значений аргумента (все $x$ , при которых выражение имеет смысл). Обозначение: $D (f)$ .

Область значений — множество всех значений, которые принимает функция. Обозначение: $E (f)$ .

Как найти $D (f)$ : исключить из $R$ все $x$ , при которых выражение теряет смысл:

Знаменатель дроби $\neq = 0$
Подкоренное выражение чётного корня $\geq 0$
Аргумент логарифма $> 0$ (в старших классах)

Пример. Для $f (x) = \frac{1}{x - 3}$ нужно: подкоренное выражение $x - 3 > 0$ (строго больше нуля, так как ещё и в знаменателе). Значит, $D (f) = (3, + \infty)$ .

Аккуратное использование записи множеств позволяет кратко и точно указывать ответ к задаче, не описывая его словами.

Ключевые формулы

a \in A

Принадлежность элемента множеству

A \subset B

Включение: A является подмножеством B

N \subset Z \subset Q \subset R

Цепочка числовых множеств (по включению)

R = Q \cup I, Q \cap I = \emptyset

Вещественные = рациональные + иррациональные (без пересечения)

Запомни

Пустое множество $\emptyset$ является подмножеством любого множества.
Каждое натуральное число — целое, каждое целое — рациональное, каждое рациональное — вещественное; обратное неверно.
Рациональное число в десятичной записи — конечная или периодическая дробь; иррациональное — бесконечная непериодическая.
Бесконечность не является числом, поэтому в обозначении промежутка около $+ \infty$ и $- \infty$ всегда ставится круглая скобка.
Объединение $\cup$ — «или», пересечение $\cap$ — «и».

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Даны множества

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

. Найди

A \cup B

A \cap B

A ∖ B

Подсказка: Объединение — «собери всё», пересечение — «оставь только общее», разность — «вычти второе из первого».

$A \cup B$ — все элементы, встречающиеся хотя бы в одном множестве: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}$ .
$A \cap B$ — только общие элементы: $2 \in A$ и $2 \in B$ , $4 \in A$ и $4 \in B$ ; остальные не совпадают. $A \cap B = {2, 4}$ .
$A ∖ B$ — элементы $A$ , не входящие в $B$ : из ${2, 4, 6, 8, 10}$ убираем $2$ и $4$ . $A ∖ B = {6, 8, 10}$ .

Ответ:

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

;

A \cap B = {2, 4}

;

A ∖ B = {6, 8, 10}

Пример 2

К какому наименьшему числовому множеству (

N

Z

Q

I

R

) принадлежит каждое число:

- 7

;

\frac{3}{4}

;

9

;

5

$- 7$ — отрицательное целое, не натуральное. Наименьшее множество: $Z$ .
$\frac{3}{4}$ — дробное, не целое. Наименьшее множество: $Q$ .
$9 = 3$ — натуральное число. Наименьшее множество: $N$ .
$5$ — не является точным квадратом натурального числа, поэтому не рациональное. Наименьшее множество: $I$ .

Ответ:

- 7 \in Z

;

\frac{3}{4} \in Q

;

9 \in N

;

5 \in I

Пример 3

Найди

A \cap B

A \cup B

, где

A = [- 3, 2)

B = (0, 5]

. Изобрази на числовой оси.

Подсказка: Удобно нарисовать оба промежутка на оси: пересечение — общая часть, объединение — вся закрашенная область.

Записываем условия: $A = {x ∣ - 3 \leq x < 2}$ , $B = {x ∣ 0 < x \leq 5}$ .
Пересечение — числа, удовлетворяющие обоим условиям одновременно: $x \geq - 3$ , $x < 2$ , $x > 0$ , $x \leq 5$ . Из $x > 0$ и $x < 2$ получаем $0 < x < 2$ , то есть $A \cap B = (0, 2)$ .
Объединение — все числа хотя бы из одного промежутка. Левый конец $- 3$ включён (из $A$ ), правый конец $5$ включён (из $B$ ), разрыва между промежутками нет (они перекрываются на $(0, 2)$ ). $A \cup B = [- 3, 5]$ .

Ответ:

A \cap B = (0, 2)

;

A \cup B = [- 3, 5]

Пример 4

Найди область определения функции

f (x) = \frac{x + 4}{x - 1}

Подсказка: Всегда записывай ОДЗ как систему условий, а потом переводи её в запись промежутками. Не забывай исключать точки, где знаменатель равен нулю.

Выражение имеет смысл при двух условиях: подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю.
Условие 1: $x + 4 \geq 0$ , откуда $x \geq - 4$ , то есть $x \in [- 4, + \infty)$ .
Условие 2: $x - 1 \neq = 0$ , откуда $x \neq = 1$ .
Область определения — пересечение этих условий: $D (f) = [- 4, + \infty) ∖ {1} = [- 4, 1) \cup (1, + \infty)$ .

Ответ:

D (f) = [- 4, 1) \cup (1, + \infty)

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают знаки $\in$ и $\subset$ : $\in$ — это принадлежность элемента ( $3 \in N$ ), $\subset$ — включение множества в множество ( $N \subset Z$ ). Нельзя писать $3 \subset N$ .
Считают, что все бесконечные дроби иррациональны. Это не так: $0, 333 \dots = \frac{1}{3} \in Q$ — бесконечная, но периодическая дробь, значит рациональная.
При записи объединения промежутков дублируют общую часть. Например, $[- 1, 3] \cup [2, 5] = [- 1, 5]$ , а не $[- 1, 5]$ с какими-то «удвоенными» точками отрезка $[2, 3]$ .
Забывают, что $2$ — иррациональное число, и пытаются записать его в виде «точной» дроби. Существование такого представления опровергается классическим доказательством от противного.