8 класс Алгебра 8 мин чтения

Функция y = √x и её свойства

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Изучаем функцию квадратного корня: область определения, основные свойства и построение графика — параболы, повёрнутой набок.

Проверь себя · 1 из 3

Функция

y = x

возрастающая или убывающая? Напиши слово.

Квадратный корень встречается в физике (скорость через кинетическую энергию), геометрии (теорема Пифагора) и даже в обработке звука. Понять, как ведёт себя функция $y = x$ , — значит научиться работать с половиной огромного класса задач.

y = √x: существует при x ≥ 0, растёт всё медленнее

Содержание 9

Определение и область определения

Квадратный корень числа $a \geq 0$ — это такое неотрицательное число $b$ , что $b^{2} = a$ . Обозначение: $b = a$ .

Функция задаётся формулой $y = x$ , где $x$ — независимая переменная, $y$ — зависимая.

Область определения (ОДЗ) — множество допустимых значений $x$ . Поскольку квадратный корень из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует, необходимо $x \geq 0$ . Записывают: $D (f) = [0; + \infty)$ .

Почему именно так? Вспомним: $4 = 2$ , потому что $2^{2} = 4$ . Попробуй вычислить $- 4$ : нет такого действительного числа $b$ , что $b^{2} = - 4$ (ведь квадрат любого действительного числа неотрицателен). Поэтому $x < 0$ — за пределами нашей функции.

Область значений и монотонность

Область значений. При $x \geq 0$ получаем $y = x \geq 0$ . Значит, $E (f) = [0; + \infty)$ .

Монотонность. Функция $y = x$ является возрастающей на $[0; + \infty)$ : чем больше $x$ , тем больше $x$ .

Почему? Возьмём $x_{1} < x_{2}$ , оба $\geq 0$ . Тогда $x_{1} < x_{2}$ — это следует из того, что функция $t^{2}$ строго возрастает при $t \geq 0$ : если $x_{1} \geq x_{2}$ , то, возводя в квадрат, получили бы $x_{1} \geq x_{2}$ — противоречие.

Таблица нескольких значений:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$
$y = x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

График функции

График $y = x$ — это правая ветвь параболы $x = y^{2}$ , то есть парабола с горизонтальной осью симметрии, у которой берётся только верхняя (неотрицательная) половина.

Ключевые точки для построения:

$(0, 0)$ — начало графика (начало координат)
$(1, 1)$
$(4, 2)$
$(9, 3)$

Форма кривой. При малых $x$ функция растёт быстро (от $0$ до $1$ — резкий подъём), при больших $x$ — всё медленнее (кривая «выполаживается»). Это называют убывающей скоростью роста: функция возрастает, но всё медленнее.

Связь с параболой $y = x^{2}$ . Графики $y = x$ и $y = x^{2}$ (при $x \geq 0$ ) симметричны относительно прямой $y = x$ . Это не случайно: $x$ и $x^{2}$ (на $[0; + \infty)$ ) — взаимно обратные функции.

Нечётность/чётность и другие свойства

Чётность. Функция $y = x$ не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения $[0; + \infty)$ не симметрична относительно нуля (не содержит отрицательных чисел).

Ноль функции. $y = 0$ при $x = 0$ . Это единственный ноль.

Знак функции. При $x > 0$ имеем $y > 0$ ; при $x = 0$ имеем $y = 0$ . Функция не принимает отрицательных значений.

Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения — её график можно нарисовать без отрыва карандаша.

Сводная таблица свойств:

Свойство	Значение
ОДЗ	$[0; + \infty)$
Область значений	$[0; + \infty)$
Монотонность	возрастает на $[0; + \infty)$
Нули	$x = 0$
Чётность	не чётная и не нечётная

Преобразования графика

Зная вид $y = x$ , можно строить графики более сложных функций по правилам сдвигов и растяжений.

Сдвиг вдоль оси $x$ : $y = x - a$ — сдвиг вправо на $a$ единиц (при $a > 0$ ). ОДЗ смещается: $x \geq a$ .

Сдвиг вдоль оси $y$ : $y = x + b$ — сдвиг вверх на $b$ единиц (при $b > 0$ ).

Растяжение: $y = k x$ при $k > 0$ — растяжение вдоль оси $y$ в $k$ раз. При $0 < k < 1$ — сжатие.

Пример. $y = x + 3 - 1$ : сдвиг влево на $3$ и вниз на $1$ ; начало графика — точка $(- 3, - 1)$ ; ОДЗ: $x \geq - 3$ .

Ключевые формулы

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0

Определение квадратного корня:

b = a

означает

b^{2} = a

, где

b \geq 0

D (f) = [0; + \infty)

Область определения функции

y = x

E (f) = [0; + \infty)

Область значений функции

y = x

a^{2} = a

Основное тождество квадратного корня (для

a \geq 0

)

Запомни

Квадратный корень определён только для неотрицательных чисел: $x \geq 0$ .
Значение $x$ всегда неотрицательно: $x \geq 0$ .
Функция $y = x$ возрастает на всей области определения.
График $y = x$ — правая ветвь горизонтальной параболы, начинается в точке $(0, 0)$ .
Тождество $a^{2} = a$ верно только при $a \geq 0$ ; в общем случае $a^{2} = ∣ a ∣$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Найдите область определения функции

y = 3 x - 6

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3 x - 6 \geq 0$ .
$3 x \geq 6$ , откуда $x \geq 2$ .
Область определения: $D (f) = [2; + \infty)$ .

Ответ:

D (f) = [2; + \infty)

Пример 2

Решите уравнение

x = 5

Подсказка: Перед возведением в квадрат убедись, что правая часть неотрицательна, иначе решений нет.

Функция $y = x$ принимает значение $5 \geq 0$ , поэтому решение может существовать.
Возводим обе части в квадрат: $x = 5^{2} = 25$ .
Проверка: $25 = 5$ — верно.

Ответ:

x = 25

Пример 3

Решите уравнение

2 x + 1 = x - 1

Подсказка: При возведении в квадрат всегда проверяй решения в исходном уравнении — могут появиться посторонние корни.

Область допустимых значений: $2 x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 0, 5$ ; также правая часть должна быть неотрицательной: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$ . Итого $x \geq 1$ .
Возводим обе части в квадрат: $2 x + 1 = (x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ .
$x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1 = 0$ , то есть $x^{2} - 4 x = 0$ .
$x (x - 4) = 0$ , откуда $x = 0$ или $x = 4$ .
Проверяем с учётом ОДЗ ( $x \geq 1$ ): $x = 0$ не подходит. При $x = 4$ : $9 = 3$ и $4 - 1 = 3$ — верно.

Ответ:

x = 4

Пример 4

Постройте график функции

y = x - 2 + 1

и укажите её область определения и область значений.

Подсказка: При параллельном переносе ОДЗ и ОЗ смещаются на те же величины, что и сам график.

Исходная функция $y = x$ сдвигается: замена $x \to x - 2$ даёт сдвиг вправо на $2$ , прибавление $1$ — сдвиг вверх на $1$ .
ОДЗ: $x - 2 \geq 0$ , то есть $x \geq 2$ . Записываем: $D (f) = [2; + \infty)$ .
Начальная точка графика (при $x = 2$ ): $y = 0 + 1 = 1$ . Точка $(2; 1)$ .
Дополнительные точки: при $x = 3$ $y = 1 + 1 = 2$ ; при $x = 6$ $y = 4 + 1 = 3$ .
Область значений: $y \geq 1$ , то есть $E (f) = [1; + \infty)$ .

Ответ:

D (f) = [2; + \infty)

E (f) = [1; + \infty)

; начало графика в точке

(2; 1)

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Писать $- 4 = - 2$ . Квадратного корня из отрицательного числа в действительных числах не существует.
Считать, что $a^{2} = a$ всегда. Верно лишь при $a \geq 0$ ; если $a < 0$ , то $a^{2} = ∣ a ∣ = - a$ .
Путать область определения и область значений: у $y = x$ обе равны $[0; + \infty)$ , но это совпадение, не правило.
При решении уравнений вида $x = - 3$ писать ответ $x = 9$ . Раз левая часть неотрицательна, уравнение не имеет решений.