8 класс Алгебра 8 мин чтения

Уравнения и неравенства с модулем

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Модуль числа — это его расстояние до нуля на числовой оси, и умение раскрывать модуль позволяет решать уравнения и неравенства, встречающиеся в ЕГЭ и реальных задачах.

Проверь себя · 1 из 3

Чему равно

∣ - 7∣

Модуль появляется везде, где важна не направленность, а величина: расстояние между точками, отклонение от нормы, погрешность измерения. Научившись решать уравнения и неравенства с модулем, вы получаете инструмент, который пригодится и в старшей школе, и на экзаменах.

y = |x| — «галочка»: модуль не бывает отрицательным

Содержание 9

Определение модуля и его геометрический смысл

Определение. Модулем числа

a

называется неотрицательное число, определяемое по правилу:

$∣ a ∣ = a$ , если $a \geq 0$ ;

$∣ a ∣ = - a$ , если $a < 0$ .

Геометрически $∣ a ∣$ — это расстояние от точки $a$ до начала координат на числовой оси. Поэтому $∣ a ∣ \geq 0$ для любого $a$ , а $∣ a ∣ = 0$ тогда и только тогда, когда $a = 0$ .

Следствия:

$∣ - a ∣ = ∣ a ∣$ — модуль не зависит от знака.
$∣ a ∣^{2} = a^{2}$ — полезно при возведении в квадрат.
$∣ a - b ∣$ — расстояние между точками $a$ и $b$ на числовой оси.

Основные свойства модуля

Свойство 1 (произведение):

∣ a \cdot b ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣

Свойство 2 (частное):

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

при

b \neq = 0

Свойство 3 (степень):

∣ a^{n} ∣ = ∣ a ∣^{n}

при натуральном

n

Свойство 4 (неравенство треугольника):

∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

. Это фундаментальное неравенство: сумма расстояний не меньше расстояния до суммы.

Свойство 5:

∣ a ∣ = a^{2}

— корень из квадрата числа равен его модулю. Это объясняет, почему

x^{2} \neq = x

в общем случае — правильно писать

x^{2} = ∣ x ∣

Уравнения с модулем

Тип 1. Простейшее уравнение $∣ f (x) ∣ = a$ .

Если $a < 0$ — решений нет (модуль неотрицателен).

Если $a = 0$ — уравнение равносильно $f (x) = 0$ .

Если $a > 0$ — уравнение равносильно совокупности: $f (x) = a$ или $f (x) = - a$ .

Тип 2. Уравнение $∣ f (x) ∣ = g (x)$ .

Равносильно системе: $g (x) \geq 0$ и ( $f (x) = g (x)$ или $f (x) = - g (x)$ ). Условие $g (x) \geq 0$ обязательно — иначе правая часть отрицательна, а модуль нет.

Тип 3. Уравнение $∣ f (x) ∣ = ∣ g (x) ∣$ .

Равносильно совокупности: $f (x) = g (x)$ или $f (x) = - g (x)$ .

Метод раскрытия по определению (универсальный). Находим нули подмодульного выражения, разбиваем числовую ось на промежутки, на каждом раскрываем модуль без знака и решаем обычное уравнение. Решения проверяем на принадлежность промежутку.

Неравенства с модулем

Тип 1. $∣ f (x) ∣ < a$ (или $\leq a$ ), где $a > 0$ .

Равносильно двойному неравенству: $- a < f (x) < a$ .

Геометрически: $f (x)$ попадает в интервал $(- a; a)$ — «попасть в полосу».

Тип 2. $∣ f (x) ∣ > a$ (или $\geq a$ ), где $a > 0$ .

Равносильно совокупности: $f (x) < - a$ или $f (x) > a$ .

Геометрически: $f (x)$ оказывается вне отрезка $[- a; a]$ — «выйти из полосы».

Тип 3. Случай $a \leq 0$ .

При $a \leq 0$ : неравенство $∣ f (x) ∣ < a$ решений не имеет; неравенство $∣ f (x) ∣ > a$ выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.

Метод раскрытия по определению применяется, когда в неравенстве несколько модулей или они вложены: делим ось на промежутки и решаем отдельно на каждом.

Уравнения и неравенства с несколькими модулями

Метод интервалов для модулей. Пусть нужно решить $∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ = 5$ .

Находим «критические точки» — нули подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = - 2$ .
Разбиваем числовую ось на три промежутка: $x < - 2$ , $- 2 \leq x < 1$ , $x \geq 1$ .
На каждом промежутке оба модуля раскрываем по определению и решаем линейное уравнение.
Отбираем только те решения, которые лежат на соответствующем промежутке.

Геометрический смысл. Выражение $∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣$ — сумма расстояний от точки $x$ до точек $a$ и $b$ . Это помогает быстро оценить, при каких $x$ сумма минимальна (между $a$ и $b$ ) или равна заданной константе.

Ключевые формулы

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

Определение модуля — основа всех раскрытий

∣ f (x) ∣ = a ⟺ f (x) = a или f (x) = - a

Уравнение

∣ f (x) ∣ = a

при

a > 0

— раскрывается в совокупность

∣ f (x) ∣ < a ⟺ - a < f (x) < a

Неравенство с модулем — «попасть в полосу»

∣ f (x) ∣ > a ⟺ f (x) < - a или f (x) > a

Неравенство с модулем — «выйти из полосы»

Запомни

Модуль всегда неотрицателен: $∣ a ∣ \geq 0$ для любого $a$ .
$∣ f (x) ∣ = a$ при $a < 0$ не имеет решений — не тратьте время на решение.
При раскрытии $∣ f (x) ∣$ по определению нужно проверить, выполняется ли условие промежутка.
$x^{2} = ∣ x ∣$ , а не $x$ — без этого ошибки при упрощении корней неизбежны.
Неравенство $∣ f (x) ∣ < a$ даёт двойное неравенство (одна система), $∣ f (x) ∣ > a$ — совокупность двух неравенств.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решите уравнение

∣2 x - 6∣ = 4

Так как правая часть $4 > 0$ , уравнение равносильно совокупности двух уравнений.
Первое: $2 x - 6 = 4$ , откуда $2 x = 10$ , то есть $x = 5$ .
Второе: $2 x - 6 = - 4$ , откуда $2 x = 2$ , то есть $x = 1$ .

Ответ:

x = 5

или

x = 1

Пример 2

Решите неравенство

∣3 x + 1∣ \leq 5

Так как $5 > 0$ , неравенство типа $∣ f (x) ∣ \leq a$ равносильно двойному: $- 5 \leq 3 x + 1 \leq 5$ .
Вычитаем $1$ из всех частей: $- 6 \leq 3 x \leq 4$ .
Делим на $3$ : $- 2 \leq x \leq \frac{4}{3}$ .

Ответ:

x \in [- 2; \frac{4}{3}]

Пример 3

Решите уравнение

∣ x^{2} - 4∣ = x + 2

Подсказка: Обязательно проверяй, что правая часть

g (x) \geq 0

— иначе часть корней окажется посторонними.

Правая часть должна быть неотрицательной: $x + 2 \geq 0$ , откуда $x \geq - 2$ .
Уравнение равносильно совокупности при условии $x \geq - 2$ .
Случай 1: $x^{2} - 4 = x + 2$ , то есть $x^{2} - x - 6 = 0$ . Корни: $x = 3$ и $x = - 2$ . Оба удовлетворяют условию $x \geq - 2$ .
Случай 2: $x^{2} - 4 = - (x + 2)$ , то есть $x^{2} - 4 = - x - 2$ , откуда $x^{2} + x - 2 = 0$ . Корни: $x = 1$ и $x = - 2$ . Оба удовлетворяют условию $x \geq - 2$ .
Объединяем: $x \in {- 2, 1, 3}$ . Корень $x = - 2$ входит в оба случая, считаем один раз.

Ответ:

x = - 2

x = 1

x = 3

Пример 4

Решите уравнение

∣ x - 1∣ + ∣ x + 3∣ = 6

Подсказка: На «среднем» промежутке между критическими точками сумма

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣

постоянна и равна

∣ a - b ∣

; если эта константа не совпадает с правой частью — на этом промежутке решений нет.

Критические точки: $x = 1$ и $x = - 3$ . Разбиваем числовую ось на три промежутка.
Промежуток $x < - 3$ : оба модуля раскрываются с минусом. Уравнение принимает вид $(1 - x) + (- 3 - x) = 6$ , то есть $- 2 x - 2 = 6$ , откуда $x = - 4$ . Проверка: $- 4 < - 3$ — принадлежит промежутку. Корень $x = - 4$ подходит.
Промежуток $- 3 \leq x < 1$ : $∣ x - 1∣ = 1 - x$ , $∣ x + 3∣ = x + 3$ . Уравнение: $(1 - x) + (x + 3) = 6$ , то есть $4 = 6$ — противоречие, решений нет.
Промежуток $x \geq 1$ : оба модуля раскрываются без знака. Уравнение: $(x - 1) + (x + 3) = 6$ , то есть $2 x + 2 = 6$ , откуда $x = 2$ . Проверка: $2 \geq 1$ — принадлежит промежутку. Корень $x = 2$ подходит.

Ответ:

x = - 4

или

x = 2

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Раскрывают $∣ x - 3∣ = x - 3$ без проверки знака: если $x < 3$ , то $∣ x - 3∣ = 3 - x$ , а не $x - 3$ .
Пишут $x^{2} = x$ вместо $x^{2} = ∣ x ∣$ , что приводит к потере решений при $x < 0$ .
Забывают условие $g (x) \geq 0$ при решении $∣ f (x) ∣ = g (x)$ и получают посторонние корни.
При решении $∣ f (x) ∣ > a$ записывают двойное неравенство $- a > f (x) > a$ вместо совокупности двух неравенств.