8 класс Алгебра 8 мин чтения

Рациональные уравнения

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби, и их решение требует нахождения допустимых значений и проверки корней на ОДЗ.

Проверь себя · 1 из 3

При каком значении

x

дробь

\frac{x + 2}{x - 5}

не имеет смысла?

Представь, что тебе нужно найти скорость лодки, зная время в пути, или рассчитать, за сколько часов два рабочих вместе выполнят задание — почти всегда такие задачи приводят к уравнению с дробью. Рациональные уравнения встречаются в физике, экономике и повседневных расчётах, поэтому умение их решать — одно из ключевых в алгебре.

Содержание 9

Что такое рациональное уравнение

Рациональным называют уравнение, в котором переменная входит в числитель или знаменатель дроби, а все действия над переменной — только сложение, вычитание, умножение и деление (без корней и степеней с дробными показателями).

Примеры рациональных уравнений:

$\frac{3}{x} = 6$
$\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$
$\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{x - 3} = 1$

Целое уравнение — частный случай рационального, когда знаменатели не содержат переменную (например, $2 x + 5 = 11$ ). Если хотя бы в одном знаменателе есть переменная — уравнение называют дробно-рациональным.

Главная особенность дробно-рационального уравнения: знаменатель дроби не может равняться нулю. Поэтому перед решением всегда нужно определить область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых все дроби в уравнении имеют смысл.

Область допустимых значений (ОДЗ)

ОДЗ — это множество всех значений переменной, при которых выражение определено, то есть ни один знаменатель не обращается в нуль.

Как найти ОДЗ:

Выпиши все знаменатели уравнения, содержащие переменную.
Приравняй каждый знаменатель к нулю и реши полученные уравнения.
Полученные значения исключи из множества допустимых значений.

Пример. Для уравнения $\frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 5} = 0$ :

Знаменатели: $x - 3$ и $x + 5$ .
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ ; $x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$ .
ОДЗ: $x \neq = 3$ и $x \neq = - 5$ .

Если найденный корень уравнения не входит в ОДЗ, он называется посторонним корнем и отбрасывается.

Метод решения: приведение к целому уравнению

Основной способ решения дробно-рациональных уравнений — умножить обе части на общий знаменатель (ОЗ), чтобы избавиться от всех дробей.

Алгоритм решения:

Найти ОДЗ (выписать, при каких значениях знаменатели равны нулю).
Найти общий знаменатель (НОК) всех дробей.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Раскрыть скобки и решить полученное целое уравнение.
Проверить каждый корень на принадлежность ОДЗ. Посторонние корни отбросить.
Записать ответ.

Почему умножение на знаменатель может дать лишние корни? Когда мы умножаем обе части на выражение, содержащее переменную, мы расширяем множество решений: новое уравнение выполняется и при тех $x$ , при которых общий знаменатель равен нулю. Именно поэтому проверка по ОДЗ обязательна — без неё ответ может быть неверным.

Решение уравнений с пропорцией

Особый случай — уравнение вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , то есть пропорция.

Свойство пропорции: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , то $a \cdot d = b \cdot c$ (произведение крайних членов равно произведению средних).

Это позволяет сразу «перекрестно» умножить и перейти к целому уравнению: $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{3}{x + 1}$ приводится к $(x + 2) (x + 1) = 3 (x - 1)$ .

Важно: перекрёстное умножение тоже является умножением на знаменатели, поэтому ОДЗ проверять всё равно необходимо.

Типы рациональных уравнений и подсказки по решению

В задачах встречается несколько характерных видов:

Вид уравнения	Подсказка
$\frac{P ( x )}{Q ( x )} = 0$	Дробь равна нулю, когда числитель $= 0$ , а знаменатель $\neq = 0$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$	Перекрёстное умножение + ОДЗ
Сумма дробей	Общий знаменатель + ОДЗ

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю (и при этом знаменатель не равен нулю). Например, $\frac{x - 4}{x + 2} = 0$ выполняется при $x = 4$ (и нужно проверить, что $x = 4 \neq = - 2$ , то есть $x = 4$ входит в ОДЗ).

Перенос слагаемых. Перед нахождением общего знаменателя удобно перенести все слагаемые в одну сторону и привести к виду $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = 0$ : это иногда упрощает вычисления.

Ключевые формулы

Q (x) \neq = 0

Условие ОДЗ: знаменатель не равен нулю

\frac{P ( x )}{Q ( x )} = 0 ⟺ P (x) = 0 и Q (x) \neq = 0

Дробь равна нулю: числитель равен нулю, знаменатель — нет

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

Свойство пропорции (перекрёстное умножение)

\frac{A}{D} + \frac{B}{D} = C ⟹ A + B = C \cdot D

Схема решения: умножение на общий знаменатель D(x)

Запомни

Перед решением найди ОДЗ: приравняй каждый знаменатель к нулю и запомни запрещённые значения.
После нахождения корней обязательно проверь каждый из них по ОДЗ — посторонние корни в ответ не включаются.
Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной может вводить посторонние корни — именно поэтому проверка по ОДЗ обязательна.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Если в ответе все найденные корни оказались посторонними, уравнение не имеет решений, и ответ: нет корней.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решить уравнение:

\frac{6}{x} = 3

ОДЗ: $x \neq = 0$ .
Умножаем обе части на $x$ : $6 = 3 x$ .
$3 x = 6$ , откуда $x = 2$ .
Проверка ОДЗ: $x = 2 \neq = 0$ — подходит.

Ответ:

x = 2

Пример 2

Решить уравнение:

\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{5}{x - 1}

Подсказка: Когда знаменатели одинаковы, достаточно приравнять числители — но ОДЗ проверить всё равно нужно.

ОДЗ: $x - 1 \neq = 0$ , то есть $x \neq = 1$ .
Знаменатели одинаковы, умножаем обе части на $(x - 1)$ : $x + 3 = 5$ .
$x = 5 - 3$ , откуда $x = 2$ .
Проверка ОДЗ: $x = 2 \neq = 1$ — подходит.

Ответ:

x = 2

Пример 3

Решить уравнение:

\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} = 0

Подсказка: Когда дробей две и правая часть — ноль, удобно перенести одну дробь и применить свойство пропорции.

ОДЗ: $x + 1 \neq = 0$ и $x - 2 \neq = 0$ , то есть $x \neq = - 1$ и $x \neq = 2$ .
Переносим второе слагаемое: $\frac{2}{x + 1} = \frac{1}{x - 2}$ .
Перекрёстное умножение: $2 (x - 2) = 1 \cdot (x + 1)$ .
Раскрываем скобки: $2 x - 4 = x + 1$ .
$2 x - x = 1 + 4$ , откуда $x = 5$ .
Проверка ОДЗ: $x = 5 \neq = - 1$ и $x = 5 \neq = 2$ — подходит.

Ответ:

x = 5

Пример 4

Решить уравнение:

\frac{3}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} = \frac{2 x}{x ^{2} - 4}

Замечаем: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
ОДЗ: $x \neq = 2$ и $x \neq = - 2$ .
Общий знаменатель: $(x - 2) (x + 2)$ . Умножаем все части на $(x - 2) (x + 2)$ .
Левая часть: $3 (x + 2) + x (x - 2) = 3 x + 6 + x^{2} - 2 x$ .
Правая часть: $2 x$ .
Получаем: $x^{2} + x + 6 = 2 x$ , то есть $x^{2} - x + 6 = 0$ .
Дискриминант: $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = - 23 < 0$ .
Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Нет решений

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Забывают проверить корни по ОДЗ и включают в ответ посторонние корни — например, $x = 2$ при знаменателе $x - 2$ .
При умножении на общий знаменатель забывают умножить одно из слагаемых (обычно целую часть или свободный член) — получают неверное уравнение.
Неверно находят ОДЗ: записывают условие $Q (x) = 0$ вместо $Q (x) \neq = 0$ , то есть путают «запрещённые» и «допустимые» значения.
При упрощении дробей сокращают выражение с переменной в числителе и знаменателе, не учитывая, что это выражение может быть равно нулю, — теряют часть ОДЗ.