6 класс Математика 11 мин чтения

Сравнение дробей

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Дроби с одинаковыми знаменателями сравнивают по числителям:

\frac{7}{9} > \frac{4}{9}

. При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем:

\frac{3}{5} > \frac{3}{8}

. В остальных случаях дроби приводят к общему знаменателю, равному НОК знаменателей:

\frac{5}{8} = \frac{15}{24}

\frac{7}{12} = \frac{14}{24}

, поэтому

\frac{5}{8} > \frac{7}{12}

. Десятичные дроби сравнивают по разрядам слева направо:

0, 7 > 0, 65

Проверь себя · 1 из 3

Какой наименьший общий знаменатель у дробей

\frac{1}{2}

\frac{3}{5}

Представь: ты съел $\frac{3}{4}$ своей пиццы, а твой друг — $\frac{5}{7}$ своей. Кто съел больше? На глаз не скажешь! Вот тут и нужно умение сравнивать дроби. Оно пригодится везде: понять, кто пробежал дальше, у кого скидка выгоднее, какое число поставить левее на числовой прямой. В этой статье разберём все случаи — от самых простых до хитрых. Спойлер: в конце ты легко ответишь, кто же съел больше пиццы.

Содержание 9

Одинаковые знаменатели — самый простой случай

Вспомни, что значат части дроби. Знаменатель (число снизу) показывает, на сколько равных кусков разрезали целое. Числитель (число сверху) — сколько кусков взяли.

Теперь представь пиццу, разрезанную на $9$ одинаковых кусков. Ты взял $5$ кусков, а друг — $3$ . Кто взял больше? Конечно ты: куски одинаковые, а у тебя их больше!

$\frac{5}{9} > \frac{3}{9}, потому что 5 > 3.$

Правило. Если знаменатели одинаковые, больше та дробь, у которой числитель больше:

\frac{a}{c} > \frac{b}{c} ⟺ a > b (c > 0) .

Здесь $a$ и $b$ — числители (сколько кусков взяли), а $c$ — общий знаменатель (на сколько кусков разрезали). Значок $⟺$ читается «тогда и только тогда» — то есть это работает в обе стороны.

Одинаковые числители — тут есть подвох!

А теперь хитрый случай. Две шоколадки одинакового размера. Одну разделили на $5$ частей, другую — на $8$ . От каждой ты берёшь по $3$ кусочка. Где достанется больше шоколада?

Подумай: чем на больше частей режут шоколадку, тем мельче каждый кусочек. Кусочек из пяти крупнее кусочка из восьми. Кусочков поровну (по три), значит больше шоколада там, где кусочки крупнее:

$\frac{3}{5} > \frac{3}{8}, потому что 5 < 8.$

Правило. Если числители одинаковые, больше та дробь, у которой знаменатель МЕНЬШЕ:

\frac{a}{b} > \frac{a}{c} ⟺ b < c (a > 0) .

Здесь $a$ — общий числитель, $b$ и $c$ — знаменатели. Заметь: всё наоборот по сравнению с первым правилом! Это правило чаще всего путают, так что запомни шоколадку: больше кусков — мельче куски.

Всё разное? Приводим к общему знаменателю

Что делать, если не совпадают ни числители, ни знаменатели? Например, $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$ — та самая задача про пиццу из начала. Куски разного размера, и их разное количество — напрямую не сравнить.

Выход простой: перережем обе пиццы на одинаковые куски. На языке математики это называется «привести дроби к общему знаменателю».

Алгоритм:

Найди наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей — самое маленькое число, которое делится на оба знаменателя. Это и будет общий знаменатель.
Для каждой дроби найди дополнительный множитель: раздели общий знаменатель на знаменатель дроби.
Умножь числитель И знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Сравни числители — как в первом правиле.

А дробь от этого не испортится? Нет! Работает основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число (не нуль), дробь не изменится: $\frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b} .$ Это как разрезать каждый кусок пиццы пополам: кусков стало вдвое больше, но пиццы у тебя ровно столько же.

Решаем задачу про пиццу. Сравним $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$ . Находим $НОК (4, 7) = 28$ . Дополнительные множители: $28 \div 4 = 7$ и $28 \div 7 = 4$ . Тогда: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28} и \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28} .$ Так как $21 > 20$ , получаем $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$ . Ты съел больше пиццы, чем друг!

Сравнение с единицей и с целым числом

Дробь и единица. Тут вообще ничего считать не надо. Единица — это целая пицца: все куски на месте, то есть $1 = \frac{b}{b}$ для любого $b \neq = 0$ (здесь $b$ — на сколько кусков разрезали). Просто посмотри, чего больше — числителя или знаменателя:

$\frac{a}{b} < 1$ , если $a < b$ — взяли меньше кусков, чем есть в целой пицце (такая дробь называется правильной);
$\frac{a}{b} = 1$ , если $a = b$ — ровно целая пицца;
$\frac{a}{b} > 1$ , если $a > b$ — кусков больше, чем в одной пицце (дробь неправильная).

Например, $\frac{7}{5} > 1$ : семь кусков по пятой части — это больше целого.

Дробь и целое число $n$ . Преврати число $n$ в дробь с таким же знаменателем: $n = \frac{n \cdot b}{b}$ . Хотим сравнить $\frac{7}{3}$ и $2$ ? Запишем $2 = \frac{6}{3}$ (две пиццы по три куска — это шесть кусков). Так как $7 > 6$ , получаем $\frac{7}{3} > 2$ .

Сравнение десятичных дробей

С десятичными дробями всё похоже на сравнение обычных чисел: идём по разрядам слева направо, как будто читаем слово по буквам.

Правило.

Сначала сравни целые части (то, что до запятой): у кого больше — та дробь и больше.
Целые равны? Сравни десятые (первую цифру после запятой). Опять равны? Сравни сотые. И так дальше.
Если после запятой цифр не хватает, мысленно допиши нули справа: $1, 3 = 1, 30$ . Значение от этого не меняется — как $1$ рубль $30$ копеек можно записать и так, и так.

Пример. Сравним $3, 72$ и $3, 8$ . Целые части равны: $3 = 3$ . Смотрим на десятые: $7 < 8$ , значит $3, 72 < 3, 8.$

Проверим через обыкновенные дроби. Допишем нуль: $3, 8 = 3, 80$ . Тогда $3, 72 = \frac{372}{100}$ и $3, 80 = \frac{380}{100}$ . Числители: $372 < 380$ — ответ тот же. Всё сходится!

Ключевые формулы

\frac{a}{c} > \frac{b}{c} ⟺ a > b (c > 0)

Одинаковые знаменатели — больше та дробь, где числитель больше. Здесь

a

b

— числители (сколько долей взяли),

c

— общий знаменатель (на сколько долей разрезали целое)

\frac{a}{b} > \frac{a}{c} ⟺ b < c (a > 0)

Одинаковые числители — больше та дробь, где знаменатель меньше. Здесь

a

— общий числитель,

b

c

— знаменатели: чем меньше знаменатель, тем крупнее доли

\frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b} (b \neq = 0, k \neq = 0)

Основное свойство дроби:

a

— числитель,

b

— знаменатель,

k

— число, на которое умножаем и верх, и низ. Дробь при этом не меняется — на этом держится приведение к общему знаменателю

\frac{a}{b} < 1 ⟺ a < b, \frac{a}{b} = 1 ⟺ a = b, \frac{a}{b} > 1 ⟺ a > b (b > 0)

Сравнение дроби с единицей:

a

— числитель,

b

— знаменатель. Числитель меньше знаменателя — дробь меньше 1; равны — ровно 1; больше — дробь больше 1

Запомни

Знаменатели одинаковые? Больше та дробь, у которой числитель больше: кусков-то больше!
Числители одинаковые? Больше та дробь, у которой знаменатель МЕНЬШЕ. Это правило-перевёртыш, его путают чаще всего: больше частей — мельче каждая часть.
Если всё разное — приведи дроби к общему знаменателю (найди НОК знаменателей), а потом сравни числители.
Числитель больше знаменателя — дробь больше единицы. Меньше — дробь меньше единицы. Считать ничего не нужно.
Десятичные дроби сравнивай по разрядам слева направо. Не хватает цифр после запятой — смело дописывай нули справа.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Сравните дроби

\frac{5}{11}

\frac{8}{11}

Смотрим на знаменатели: они равны, $11 = 11$ . Значит, доли одинакового размера.
Сравниваем числители: $5 < 8$ — во второй дроби долей взято больше.
По правилу для одинаковых знаменателей: $\frac{5}{11} < \frac{8}{11}$ .

Ответ:

\frac{5}{11} < \frac{8}{11}

Пример 2

Сравните дроби

\frac{4}{5}

\frac{4}{9}

Подсказка: Представь две одинаковые пиццы: одну разрезали на

5

кусков, другую на

9

. Кусок из пяти явно больше!

Смотрим на числители: они равны, $4 = 4$ — долей взято поровну.
Сравниваем знаменатели: $5 < 9$ . Когда целое режут на $5$ частей, каждая часть крупнее, чем когда режут на $9$ .
Долей поровну, но у первой дроби они крупнее, поэтому $\frac{4}{5} > \frac{4}{9}$ .

Ответ:

\frac{4}{5} > \frac{4}{9}

Пример 3

Сравните дроби

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

Подсказка: Умножай на дополнительный множитель и числитель, и знаменатель — иначе дробь «испортится».

Ни числители, ни знаменатели не совпадают — нужен общий знаменатель. Ищем НОК: кратные $4$ — это $4, 8, 12, \dots$ , кратные $6$ — это $6, 12, \dots$ Значит, $НОК (4, 6) = 12$ .
Дополнительный множитель первой дроби: $12 \div 4 = 3$ . Приводим: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ .
Дополнительный множитель второй дроби: $12 \div 6 = 2$ . Приводим: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$ .
Теперь знаменатели одинаковые, сравниваем числители: $9 < 10$ , значит $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$ .
Возвращаемся к исходным дробям: $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

Ответ:

\frac{3}{4} < \frac{5}{6}

Пример 4

Расставьте дроби в порядке возрастания:

\frac{7}{12}

\frac{2}{3}

\frac{5}{8}

Подсказка: Несколько дробей сразу? Сведи все к одному знаменателю — и порядок сразу виден по числителям.

Чтобы сравнить три дроби сразу, приведём все к одному знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $3 = 3$ , $8 = 2^{3}$ . Тогда $НОК (12, 3, 8) = 2^{3} \cdot 3 = 24$ .
Приводим первую дробь: $\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$ .
Приводим вторую: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$ .
Приводим третью: $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$ .
Сравниваем числители: $14 < 15 < 16$ , то есть $\frac{14}{24} < \frac{15}{24} < \frac{16}{24}$ .
Возвращаемся к исходным дробям: $\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3}$ .

Ответ:

\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3}

Пример 5

Сравните десятичные дроби

0, 9

0, 15

Целые части равны: $0 = 0$ . Идём дальше.
Уравниваем число цифр после запятой — допишем нуль: $0, 9 = 0, 90$ . Значение не изменилось.
Сравниваем десятые: $9 > 1$ , значит $0, 90 > 0, 15$ .
Вывод: $0, 9 > 0, 15$ . Хотя у $0, 15$ цифр больше, само число меньше!

Ответ:

0, 9 > 0, 15

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

При одинаковых числителях рассуждают «знаменатель больше — значит, дробь больше» и попадают в ловушку. Запомни: $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ , хотя $3 < 5$ . Треть шоколадки больше пятой части!
Приводя к общему знаменателю, умножают только знаменатель, а числитель забывают. Получается совсем другая дробь. Умножай ОБА: и верх, и низ.
Считают, что чем больше цифр после запятой, тем число больше: мол, $0, 9 < 0, 15$ . Неправда! $0, 9 = 0, 90 > 0, 15$ . Длина записи ничего не значит.
Вместо НОК (наименьшего общего кратного) берут НОД (наибольший общий делитель) или просто перемножают знаменатели — и потом мучаются с огромными числами.
Сравнивают дроби «крест-накрест», не понимая, как это работает, и путают, какое произведение к какой дроби относится. Надёжнее честно привести к общему знаменателю.