7 класс Алгебра 9 мин чтения

Степень с натуральным показателем

Q: Что такое степень с натуральным показателем?

Произведение n одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a. Число a называют основанием, n показателем. 2⁵ = 32.

Q: Как умножать и делить степени с одинаковым основанием?

При умножении показатели складывают: a³ · a⁴ = a⁷. При делении вычитают: a⁷ : a⁴ = a³.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Что такое степень, где у неё основание и показатель, и четыре главных свойства: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, степень степени и степень произведения.

Проверь себя · 1 из 3

Упрости:

(b^{3})^{3}

Ты кинул смешной мем двум друзьям. Каждый из них переслал ещё двум, те — ещё двум... Через десять таких «волн» мем увидит больше тысячи человек! Чтобы не писать десять двоек подряд, математики придумали степень — суперкороткую запись умножения. В этой статье разберёмся, как она устроена и по каким правилам с ней работать.

Как возвести число в степень

Запиши основание множителем столько раз, сколько показывает показатель.
Перемножь множители по порядку.
Если основание отрицательное, смотри на показатель: чётный даёт плюс, нечётный минус.

Пример. $(- 3)^{3}$ : три множителя $- 3$ , показатель нечётный, ответ $- 27$ . А $2^{4}$ это $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

Как умножать и делить степени

Проверь, что основания одинаковые. Правила работают только для них.
При умножении основание оставь, показатели сложи: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
При делении основание оставь, показатели вычти: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ .
При возведении степени в степень показатели перемножь: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ .

Пример. $x^{5} \cdot x^{3} = x^{8}$ , $a^{7} : a^{4} = a^{3}$ , $(c^{3})^{4} = c^{12}$ .

Содержание 11

Что такое степень: основание и показатель

Вернёмся к мему. После первой волны его видят $2$ человека, после второй — $2 \cdot 2 = 4$ , после третьей — $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . После десятой волны:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024$

Писать десять двоек долго. Короткая запись: $2^{10}$ . Читается «два в десятой степени».

Определение. Степенью числа

a

с натуральным показателем

n

(где

n

— натуральное число, большее 1) называется произведение

n

множителей, каждый из которых равен

a

$a^{n} = n множителей a \cdot a \cdot \dots \cdot a$

Здесь $a$ — основание степени (число, которое умножаем само на себя), а $n$ — показатель степени (он показывает, сколько таких множителей взять).

Для показателя 1 отдельный уговор: $a^{1} = a$ . Один множитель — само число.

Вот как растут степени двойки:

Степень	Значение
$2^{1}$	$2$
$2^{2}$	$4$
$2^{3}$	$8$
$2^{4}$	$16$
$2^{5}$	$32$
$2^{10}$	$1024$

Знак степени. Если основание положительное, степень всегда положительна. Если основание отрицательное, смотри на показатель:

показатель чётный — результат положительный: $(- 3)^{2} = (- 3) \cdot (- 3) = 9$ ;
показатель нечётный — результат отрицательный: $(- 3)^{3} = - 27$ .

Минусы при умножении «гасят» друг друга парами, поэтому всё решает чётность.

Умножение и деление степеней с одинаковым основанием

Перемножим $x^{2}$ и $x^{3}$ . Просто распишем каждую степень как произведение:

$x^{2} \cdot x^{3} = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^{5}$

Два множителя плюс три множителя — всего пять. Отсюда правило.

Правило умножения. При умножении степеней с одинаковым основанием основание оставляют прежним, а показатели складывают:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Здесь $m$ и $n$ — натуральные показатели степеней. Например, $5^{4} \cdot 5^{6} = 5^{10}$ .

С делением всё наоборот. Разделим $a^{7}$ на $a^{4}$ (при $a \neq = 0$ ):

$a^{7} : a^{4} = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a} = a \cdot a \cdot a = a^{3}$

Четыре множителя сверху и снизу сократились, осталось $7 - 4 = 3$ .

Правило деления. При делении степеней с одинаковым основанием основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя (считаем, что

m > n

, а

a \neq = 0

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

Важно: оба правила работают только при одинаковом основании. Выражение $2^{3} \cdot 5^{4}$ так упростить нельзя — основания разные.

Степень степени

А если степень саму возвести в степень? Например, $(a^{2})^{3}$ — это $a^{2}$ , взятое множителем три раза:

$(a^{2})^{3} = a^{2} \cdot a^{2} \cdot a^{2} = a^{2 + 2 + 2} = a^{6}$

Три раза по два множителя — всего $2 \cdot 3 = 6$ множителей.

Правило. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают:

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$

Например, $(7^{4})^{5} = 7^{20}$ .

Запомни пару, которую вечно путают:

умножение степеней $a^{m} \cdot a^{n}$ — показатели складываем;
степень степени $(a^{m})^{n}$ — показатели перемножаем.

Проверь себя на числах: $2^{2} \cdot 2^{3} = 4 \cdot 8 = 32 = 2^{5}$ , а $(2^{2})^{3} = 4^{3} = 64 = 2^{6}$ . Результаты разные — значит, и правила разные.

Степень произведения

Возведём в куб произведение $ab$ (здесь $a$ и $b$ — любые числа):

$(ab)^{3} = ab \cdot ab \cdot ab = (a \cdot a \cdot a) \cdot (b \cdot b \cdot b) = a^{3} b^{3}$

Множители просто перегруппировались: все $a$ — к $a$ , все $b$ — к $b$ .

Правило. Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить:

$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

Это правило удобно читать в обе стороны:

слева направо: $(2 y)^{4} = 2^{4} \cdot y^{4} = 16 y^{4}$ ;
справа налево: $2^{5} \cdot 5^{5} = (2 \cdot 5)^{5} = 1 0^{5} = 100000$ — считать стало легко!

Осторожно: правило работает только для произведения, для суммы его нет. $(a + b)^{2}$ — это НЕ $a^{2} + b^{2}$ . Проверка: $(3 + 4)^{2} = 7^{2} = 49$ , а $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ . Совсем не одно и то же.

Ключевые формулы

a^{n} = n a \cdot a \cdot \dots \cdot a

Определение степени:

a^{n}

— степень,

a

— основание (что умножаем),

n

— показатель (сколько одинаковых множителей)

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Умножение степеней с одинаковым основанием:

a

— основание,

m

n

— показатели; показатели складываются

a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

Деление степеней с одинаковым основанием:

a

— основание (

a \neq = 0

m

n

— показатели,

m > n

; показатели вычитаются

(a^{m})^{n} = a^{mn}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n}

Степень степени и степень произведения:

a

b

— основания,

m

n

— показатели; в первом случае показатели перемножаются, во втором в степень возводится каждый множитель

Запомни

Степень — короткая запись умножения одинаковых множителей: $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ . Основание — что умножаем, показатель — сколько раз.
Любое число в первой степени равно самому себе: $a^{1} = a$ .
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ .
Степень степени — показатели перемножают: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ . Не путай со сложением при умножении степеней!
Степень произведения — возводим каждый множитель: $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ . Для суммы такого правила НЕТ.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычисли: а)

5^{2}

; б)

2^{4}

; в)

(- 3)^{3}

Подсказка: Показатель говорит, сколько одинаковых множителей нужно перемножить. У отрицательного основания знак ответа определяет чётность показателя.

а) Основание 5, показатель 2 — перемножаем две пятёрки: $5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$ . Это площадь квадрата со стороной 5: смотри рисунок — квадрат 5 на 5 содержит ровно 25 клеток.
б) Основание 2, показатель 4 — четыре двойки: $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .
в) Основание отрицательное, показатель 3 — нечётный, значит, результат будет с минусом: $(- 3)^{3} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = 9 \cdot (- 3) = - 27$ .

Ответ: а) 25; б) 16; в) −27

Пример 2

Что больше: а)

2^{3}

или

3^{2}

; б)

2^{5}

или

5^{2}

а) Вычислим обе степени: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ и $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$ .
Отметим оба числа на числовой прямой: 9 правее 8, значит, $3^{2} > 2^{3}$ . Менять местами основание и показатель нельзя — получаются разные числа!
б) Теперь вторая пара: $2^{5} = 32$ , а $5^{2} = 25$ .
Здесь уже наоборот: $2^{5} > 5^{2}$ . Вывод: без вычислений сравнивать степени «на глаз» опасно.

Ответ: а)

3^{2} > 2^{3}

(9 > 8); б)

2^{5} > 5^{2}

(32 > 25)

Пример 3

Упрости выражение: а)

x^{5} \cdot x^{3}

; б)

a^{7} : a^{4}

; в)

(c^{3})^{4}

; г)

(2 y)^{3}

а) Основания одинаковые ( $x$ ), идёт умножение — показатели складываем: $x^{5} \cdot x^{3} = x^{5 + 3} = x^{8}$ .
б) Деление степеней с одинаковым основанием — показатели вычитаем: $a^{7} : a^{4} = a^{7 - 4} = a^{3}$ .
в) Степень возводится в степень — показатели перемножаем: $(c^{3})^{4} = c^{3 \cdot 4} = c^{12}$ .
г) В степень возводится произведение $2 \cdot y$ — возводим каждый множитель: $(2 y)^{3} = 2^{3} \cdot y^{3} = 8 y^{3}$ .

Ответ: а)

x^{8}

; б)

a^{3}

; в)

c^{12}

; г)

8 y^{3}

Пример 4

Вычисли

\frac{4 ^{5} \cdot 2 ^{3}}{8 ^{3}}

, приведя все степени к основанию 2.

Свойства степеней работают только при одинаковом основании, поэтому заменим 4 и 8 степенями двойки: $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ .
Перепишем $4^{5}$ через степень степени: $4^{5} = (2^{2})^{5} = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$ .
Аналогично знаменатель: $8^{3} = (2^{3})^{3} = 2^{3 \cdot 3} = 2^{9}$ .
В числителе умножение степеней — показатели складываем: $2^{10} \cdot 2^{3} = 2^{13}$ .
Осталось деление — показатели вычитаем: $2^{13} : 2^{9} = 2^{13 - 9} = 2^{4} = 16$ .

Ответ: 16

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Умножают основание на показатель: « $2^{3} = 6$ ». Неверно! Степень — это произведение одинаковых множителей: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
При умножении степеней перемножают показатели: « $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ ». На самом деле показатели складывают: $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ . Перемножают их только в степени степени: $(x^{2})^{3} = x^{6}$ .
Путают $- 2^{4}$ и $(- 2)^{4}$ . В записи $- 2^{4}$ минус стоит вне степени: $- 2^{4} = - 16$ . А в $(- 2)^{4}$ в степень возводится само отрицательное число: $(- 2)^{4} = 16$ .
Применяют степень произведения к сумме: « $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ». Это ошибка: $(3 + 4)^{2} = 49$ , а $3^{2} + 4^{2} = 25$ . Правило $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ работает только для умножения.

Частые вопросы

Что такое степень с натуральным показателем?

Произведение

n

одинаковых множителей:

a^{n} = a \cdot a \cdot \dots \cdot a

. Число

a

называют основанием,

n

показателем.

2^{5} = 32

Как умножать и делить степени с одинаковым основанием?

При умножении показатели складывают:

a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}

. При делении вычитают:

a^{7} : a^{4} = a^{3}