5 класс Математика 12 мин чтения

Признаки делимости

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Признаки делимости — это хитрые правила, которые позволяют мгновенно, даже не деля, понять, делится ли число на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 или 25.

Проверь себя · 1 из 3

Число 245 делится на 2. Верно?

Представь: у тебя 312 конфет, и ты хочешь разделить их поровну между 4 друзьями. Делить столбиком долго и скучно. А что, если можно просто взглянуть на число — и сразу сказать: «Да, получится без остатка!»? Именно это умеют признаки делимости. Это как чит-код в игре: ты узнаёшь ответ за секунду. Эти правила пригодятся тебе постоянно — когда будешь сокращать дроби или искать общие делители.

Содержание 9

Что такое делимость и зачем нужны признаки

Начнём с простого. У тебя 12 наклеек, и ты раздаёшь их 3 друзьям. Каждому достанется по 4 — и ни одной лишней. Говорят: 12 делится на 3.

Определение. Число

a

делится на число

b

, если найдётся такое число

k

, что

a = b \cdot k

. Здесь

a

— то, что делим,

b

— на что делим (его называют делителем), а

k

— сколько получится. Для наклеек:

12 = 3 \cdot 4

Можно, конечно, каждый раз делить в столбик и смотреть, будет ли остаток ноль. Но для больших чисел это долго. Признак делимости — это правило, которое говорит ответ БЕЗ деления: достаточно посмотреть на одну-две цифры числа!

Маленький секрет: все эти признаки работают потому, что мы записываем числа десятками (наша система счёта построена на числе 10).

Признаки делимости на 2, 5 и 10

У этих трёх признаков один общий фокус: смотри только на последнюю цифру. Остальные цифры вообще не важны!

На 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Такие числа называют чётными. Например: 348 заканчивается на 8 — значит, делится на 2. А 375 заканчивается на 5 — не делится.

Почему это работает? Любое число можно «разрезать» на две части: десятки и последнюю цифру. Например, $348 = 340 + 8$ . В общем виде:

$N = 10 \cdot q + r$

Здесь $N$ — само число, $q$ — сколько в нём целых десятков, $r$ — последняя цифра. Часть $10 \cdot q$ всегда делится на 2 (ведь $10 = 2 \cdot 5$ ). Значит, всё решает «хвостик» $r$ — последняя цифра!

На 5. Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. Например: 1 235 — делится (на конце 5), а 1 238 — нет (на конце 8). Причина та же: десятки делятся на 5 сами по себе, смотрим только на хвостик.

На 10. Число делится на 10, только если оканчивается на 0. Логично: чтобы делиться на 10, надо делиться и на 2, и на 5 сразу — а так умеет только цифра 0.

Кстати, поэтому цены вроде 350 рублей так удобно делить на десятки: глянул на ноль в конце — и всё ясно.

Признаки делимости на 3 и 9

А вот тут последняя цифра уже не поможет. Зато есть фокус покруче: сложи все цифры числа!

На 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Почему? Возьмём трёхзначное число с цифрами $a$ , $b$ и $c$ (это сотни, десятки и единицы). Его можно записать так:

$\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c$

Теперь хитрость: $100 = 99 + 1$ , а $10 = 9 + 1$ . Перегруппируем:

$\overline{ab c} = 99 a + 9 b + (a + b + c)$

Куски $99 a$ и $9 b$ делятся на 9 всегда. Значит, судьбу числа решает скобка $(a + b + c)$ — сумма цифр! Этот же трюк работает для числа с любым количеством цифр.

На 3. Точно так же: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Ведь 9, 99, 999 делятся не только на 9, но и на 3.

Пример. Число 5 742: считаем $5 + 7 + 4 + 2 = 18$ . А 18 делится и на 9, и на 3 — значит, и 5 742 делится и на 9, и на 3. Круто, правда? Мы ничего не делили!

Число 4 517: сумма $4 + 5 + 1 + 7 = 17$ . А 17 не делится ни на 3, ни на 9 — значит, и 4 517 не делится.

Признаки делимости на 4, 8 и 25

Здесь смотрим на две или три последние цифры.

На 4. Число делится на 4, если на 4 делится число из его двух последних цифр.

Почему? Любое число режется на сотни и «хвост» из двух цифр:

$N = 100 \cdot q + r$

Здесь $q$ — сколько целых сотен, $r$ — хвост из двух последних цифр. А $100 = 4 \cdot 25$ делится на 4. Значит, опять всё решает хвост!

Пример: 1 836 — хвост 36, а $36 = 4 \cdot 9$ , значит 1 836 делится на 4. Число 1 834 — хвост 34, а $34 = 4 \cdot 8 + 2$ , остался остаток 2 — не делится.

На 8. Число делится на 8, если на 8 делится число из его трёх последних цифр. Причина: $1000 = 8 \cdot 125$ , тысячи делятся на 8 сами.

Пример: 57 312 — хвост 312, а $312 = 8 \cdot 39$ , значит 57 312 делится на 8.

На 25. Число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50 или 75. Запомнить легко: это как монетки по 25 — четыре штуки дают ровно сотню, ведь $100 = 25 \cdot 4$ .

Пример: 4 750 оканчивается на 50 — делится на 25.

Признак делимости на 6 и другие составные делители

На 6. Отдельного фокуса для шестёрки нет — зато есть комбо! Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно. Два теста вместо одного.

Почему так можно? Потому что $6 = 2 \cdot 3$ , а у чисел 2 и 3 нет общих делителей, кроме 1, — такие числа называют взаимно простыми. Общее правило: если число прошло проверку на $a$ и на $b$ , а $a$ и $b$ взаимно просты, то оно делится и на произведение $a \cdot b$ .

Пример: 4 314. Последняя цифра 4 — чётная, тест на 2 пройден. Сумма цифр $4 + 3 + 1 + 4 = 12$ делится на 3 — тест на 3 пройден. Оба теста пройдены — значит, 4 314 делится на 6!

А вот 4 316: на 2 делится (оканчивается на 6), но сумма цифр $4 + 3 + 1 + 6 = 14$ на 3 не делится. Один тест провален — на 6 число не делится.

Так можно собирать признаки для других чисел: делимость на 15 — это проверка на 3 и на 5; делимость на 18 — на 2 и на 9. Главное, чтобы множители были взаимно простыми. Проверка на 4 и на 2 для числа 8 не сработает — у 4 и 2 есть общий делитель 2!

Ключевые формулы

N = 10 \cdot q + r, r \in {0, 1, 2, \dots, 9}

N = 10 \cdot q + r

N

— само число,

q

— количество целых десятков в нём,

r

— последняя цифра. Это основа признаков делимости на 2, 5 и 10

\overline{ab c} = 99 a + 9 b + (a + b + c)

\overline{ab c} = 99 a + 9 b + (a + b + c)

a

b

c

— цифры числа (сотни, десятки, единицы). Куски

99 a

9 b

делятся на 9, поэтому всё решает сумма цифр

a + b + c

g cd (a, b) = 1, a ∣ N, b ∣ N ⟹ ab ∣ N

Признак для составного делителя: если

a

b

взаимно просты (

g cd (a, b) = 1

— их наибольший общий делитель равен 1) и число

N

делится на

a

и на

b

, то

N

делится и на

ab

N = 100 \cdot q + r, 0 \leq r \leq 99

N = 100 \cdot q + r

N

— само число,

q

— количество целых сотен,

r

— «хвост» из двух последних цифр. Основа признаков делимости на 4 и 25

Запомни

На 2 делятся числа с последней цифрой 0, 2, 4, 6, 8; на 5 — с последней цифрой 0 или 5; на 10 — только с 0 на конце.
На 3 и 9 проверяем сумму всех цифр числа: делится сумма — делится и число.
На 4 смотрим на две последние цифры, на 8 — на три последние, на 25 — на две последние (00, 25, 50, 75).
На 6 — двойной тест: число должно делиться и на 2, и на 3. Этот приём работает для любых двух взаимно простых делителей.
Все признаки работают благодаря тому, что мы записываем числа десятками: 10, 100, 1000 удобно делятся на нужные числа.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Делится ли число 7 350 на 2, 5 и 10?

Смотрим на последнюю цифру числа 7 350 — это 0.
Цифра 0 есть в списке чётных (0, 2, 4, 6, 8), значит 7 350 делится на 2.
Для делимости на 5 нужна последняя цифра 0 или 5 — у нас 0, значит 7 350 делится на 5.
Для делимости на 10 нужен 0 на конце — он есть, значит 7 350 делится на 10.

Ответ: 7 350 делится на 2, на 5 и на 10.

Пример 2

Делится ли число 4 527 на 3 и на 9?

Подсказка: Если число делится на 9, оно автоматически делится и на 3. А вот наоборот — не всегда!

Складываем все цифры: $4 + 5 + 2 + 7 = 18$ .
$18 = 9 \cdot 2$ — значит, 18 делится на 9, а заодно и на 3.
Сумма цифр делится на 9 — значит, и само число 4 527 делится на 9.
Сумма цифр делится на 3 — значит, 4 527 делится и на 3.

Ответ: 4 527 делится и на 3, и на 9.

Пример 3

Делится ли число 3 816 на 4 и на 6?

Подсказка: Делимость на 6 — это два теста сразу: на 2 и на 3. Провалил хоть один — на 6 не делится.

Тест на 4: берём две последние цифры — это 16. Так как $16 = 4 \cdot 4$ , число 16 делится на 4, значит и 3 816 делится на 4.
Тест на 6 — это двойная проверка: на 2 и на 3.
Последняя цифра 6 — чётная, значит 3 816 делится на 2. Первый тест пройден.
Сумма цифр: $3 + 8 + 1 + 6 = 18$ , а $18 = 3 \cdot 6$ — делится на 3. Второй тест пройден.
Оба теста пройдены — значит, 3 816 делится на 6.

Ответ: 3 816 делится и на 4, и на 6.

Пример 4

Найди наименьшее трёхзначное число, которое делится и на 4, и на 9.

Подсказка: Если два делителя взаимно просты, ищи числа, кратные их произведению, — это куда быстрее перебора.

Число должно делиться и на 4, и на 9. У чисел 4 и 9 нет общих делителей, кроме 1 (они взаимно просты), поэтому наше число обязано делиться на их произведение: $4 \cdot 9 = 36$ .
Ищем наименьшее трёхзначное число, кратное 36: $36 \cdot 2 = 72$ — ещё двузначное, $36 \cdot 3 = 108$ — уже трёхзначное. Подходит!
Проверим 108 по признакам: две последние цифры дают число 08, то есть 8, а $8 = 4 \cdot 2$ — делится на 4. Сумма цифр $1 + 0 + 8 = 9$ — делится на 9. Всё сходится.

Ответ: Наименьшее трёхзначное число, которое делится и на 4, и на 9, — это 108.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Проверяют делимость на 4 по одной последней цифре: видят четвёрку в конце числа 14 и решают, что 14 делится на 4. Нет! Смотреть надо на ДВЕ последние цифры: для 14 это само 14, а оно на 4 не делится.
Проверяя делимость на 6, делают только один тест (например, на 2) и забывают про второй (на 3). Число 14 делится на 2, но не на 3 — значит, на 6 оно не делится.
Считают сумму цифр и теряют одну цифру или ошибаются в сложении — особенно в длинных числах. Проверь себя дважды!
Путают признаки на 3 и на 9: думают, что раз сумма цифр делится на 3, то число делится и на 9. Это не так: у числа 21 сумма цифр 3, поэтому 21 делится на 3, но на 9 — нет.