8 класс Алгебра 7 мин чтения

Рациональные дроби. Основное свойство рациональной дроби

Q: Что такое рациональные дроби?

Дроби P/Q, у которых числитель и знаменатель являются многочленами, например (x + 1)/(x² - 4). Знаменатель не должен обращаться в ноль.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Рациональная дробь — это дробь вида P/Q, где P и Q — многочлены, и главное свойство позволяет умножать или делить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение без изменения значения дроби.

Проверь себя · 1 из 3

При каком значении

x

дробь

\frac{x + 3}{x - 5}

не имеет смысла?

Вы уже умеете сокращать обычные дроби: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . В алгебре вместо чисел стоят многочлены — и те же правила работают, только аккуратнее. Рациональные дроби встречаются в физических формулах, уравнениях движения и везде, где одна величина делится на другую.

Как сократить рациональную дробь

Разложи числитель на множители: вынеси общий множитель за скобки или примени формулу сокращённого умножения.
Так же разложи знаменатель.
Раздели числитель и знаменатель на общий множитель. Сокращать можно только множители, слагаемые нельзя.
Запиши, при каких значениях переменной знаменатель был равен нулю. Эти значения исключаются.

Пример. $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}$ : числитель $(x - 3) (x + 3)$ , знаменатель $x (x + 3)$ . Сокращаем на $x + 3$ , ответ $\frac{x - 3}{x}$ при $x \neq = 0$ и $x \neq = - 3$ .

Содержание 10

Что такое рациональная дробь

Определение. Рациональной дробью называется выражение вида

\frac{P}{Q}

, где

P

Q

— многочлены, а

Q \neq = 0

Число в числителе и знаменателе тоже считается многочленом (нулевой степени), поэтому обычная дробь $\frac{3}{7}$ — частный случай рациональной дроби.

Примеры рациональных дробей:

$\frac{2 x}{x + 1}$
$\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 3 x + 2}$
$\frac{5}{a - b}$

Не являются рациональными дробями выражения с корнями в знаменателе или переменной в показателе степени: $\frac{1}{x}$ , $\frac{x}{2 ^{x}}$ .

Область допустимых значений (ОДЗ) рациональной дроби — это все значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю. Например, для $\frac{3}{x - 2}$ ОДЗ: $x \neq = 2$ .

Основное свойство рациональной дроби

Основное свойство. Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить (или разделить) на одно и то же ненулевое многочленное выражение $M$ , то значение дроби не изменится: $\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot M}{Q \cdot M}, M \neq = 0.$

Это свойство — прямое следствие аналогичного свойства числовых дробей, которое вы изучали в 5 классе.

Почему так? Умножение числителя и знаменателя на $M$ — то же самое, что умножение дроби на $\frac{M}{M} = 1$ . Умножение на 1 не меняет значение.

Два направления применения:

Сокращение дроби — делим числитель и знаменатель на общий множитель.
Приведение к новому знаменателю — умножаем числитель и знаменатель на нужное выражение.

Сокращение рациональных дробей

Правило сокращения. Чтобы сократить дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и разделить оба на общий множитель (отличный от нуля).

Алгоритм:

Разложить числитель $P$ на множители.
Разложить знаменатель $Q$ на множители.
Найти общие множители и «зачеркнуть» их (разделить на них числитель и знаменатель).
Указать ОДЗ (значения, при которых сокращённый множитель обращается в ноль, исключаются из области допустимых значений).

Пример разложения на множители для сокращения:

$\frac{6 x ^{2}}{9 x} = \frac{2 \cdot 3 \cdot x \cdot x}{3 \cdot 3 \cdot x} = \frac{2 x}{3}$ , при $x \neq = 0$ .

Важно: сокращать можно только на множители — то есть на то, что стоит в произведении. Сокращать слагаемые нельзя. Например,

\frac{x + 3}{x + 7}

— нельзя «зачеркнуть»

x

, потому что

x

— слагаемое, а не множитель.

Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение к общему знаменателю — второе применение основного свойства. Здесь мы умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель.

Алгоритм:

Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
Для каждой дроби найти дополнительный множитель: $НОК \div Q_{i}$ .
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Пример. Привести к общему знаменателю $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x + 1}$ .

НОК $(x, x + 1) = x (x + 1)$ .

Дополнительные множители: для первой дроби — $(x + 1)$ , для второй — $x$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1 \cdot ( x + 1 )}{x ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{x ( x + 1 )}$

$\frac{2}{x + 1} = \frac{2 \cdot x}{( x + 1 ) \cdot x} = \frac{2 x}{x ( x + 1 )}$

Ключевые формулы

\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot M}{Q \cdot M}, M \neq = 0

Основное свойство: умножение на множитель

\frac{P \cdot M}{Q \cdot M} = \frac{P}{Q}, M \neq = 0

Основное свойство: деление (сокращение) на множитель

Q \neq = 0

ОДЗ: знаменатель не равен нулю

M_{i} = НОК (Q_{1}, Q_{2}) \div Q_{i}

Дополнительный множитель при приведении к общему знаменателю

Запомни

Рациональная дробь — это $\frac{P}{Q}$ , где $P$ и $Q$ — многочлены и $Q \neq = 0$ .
Основное свойство: умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение не изменяет дробь.
Сокращать можно только множители, но не слагаемые.
При сокращении дроби ОДЗ определяется по исходному знаменателю, а не по сокращённому.
Приведение к общему знаменателю — это умножение числителя и знаменателя на дополнительный множитель.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Сократить дробь

\frac{12 x ^{3}}{18 x ^{2}}

Подсказка: Найди НОД числовых коэффициентов и наименьшую степень

x

, которая входит в оба члена.

Разложим числитель и знаменатель: $12 x^{3} = 2^{2} \cdot 3 \cdot x^{3}$ и $18 x^{2} = 2 \cdot 3^{2} \cdot x^{2}$ .
Общий множитель: $6 x^{2}$ .
$\frac{12 x ^{3}}{18 x ^{2}} = \frac{6 x ^{2} \cdot 2 x}{6 x ^{2} \cdot 3} = \frac{2 x}{3}$ , при $x \neq = 0$ .

Ответ:

\frac{2 x}{3}

, при

x \neq = 0

Пример 2

Сократить дробь

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Разложим знаменатель, вынося общий множитель: $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ .
$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x}$ , при $x \neq = 0$ и $x \neq = - 3$ .

Ответ:

\frac{x - 3}{x}

, при

x \neq = 0

x \neq = - 3

Пример 3

Сократить дробь

\frac{2 x ^{2} - 8}{x ^{2} - x - 6}

Разложим числитель: $2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4) = 2 (x - 2) (x + 2)$ .
Разложим знаменатель на множители, подбирая корни: $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ .
$\frac{2 x ^{2} - 8}{x ^{2} - x - 6} = \frac{2 ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 3 ) ( x + 2 )} = \frac{2 ( x - 2 )}{x - 3}$ , при $x \neq = - 2$ и $x \neq = 3$ .

Ответ:

\frac{2 ( x - 2 )}{x - 3}

, при

x \neq = - 2

x \neq = 3

Пример 4

Привести дроби

\frac{3}{x ^{2} - 1}

\frac{2}{x ^{2} + 2 x + 1}

к общему знаменателю.

Подсказка: Сначала разложи оба знаменателя на множители — тогда НОК легко составить, взяв каждый множитель в наибольшей встречающейся степени.

Разложим первый знаменатель: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
Разложим второй знаменатель: $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ .
НОК $((x - 1) (x + 1), (x + 1)^{2}) = (x - 1) (x + 1)^{2}$ .
Дополнительный множитель для первой дроби: $(x + 1)^{2} \div (x + 1) = (x + 1)$ , для второй: $(x - 1) (x + 1)^{2} \div (x + 1)^{2} = (x - 1)$ .
$\frac{3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{3 ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}$ , $\frac{2}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}$ .

Ответ: Общий знаменатель

(x - 1) (x + 1)^{2}

; первая дробь

\frac{3 ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}

, вторая

\frac{2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Сокращение слагаемых вместо множителей: $\frac{x + 3}{x + 7} \neq = \frac{3}{7}$ — здесь $x$ является слагаемым и не сокращается.
Забыть указать ОДЗ после сокращения: если сократили на $(x - 1)$ , значит $x \neq = 1$ — это условие не исчезает после сокращения.
Неправильно раскладывать на множители перед сокращением: торопятся и сокращают, не разложив до конца.
При приведении к общему знаменателю умножают только знаменатель, забывая умножить числитель на тот же множитель.

Частые вопросы

Что такое рациональные дроби?

Дроби

\frac{P}{Q}

, у которых числитель и знаменатель являются многочленами, например

\frac{x + 1}{x ^{2} - 4}

. Знаменатель не должен обращаться в ноль.

Какое основное свойство рациональной дроби?

Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится:

\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot M}{Q \cdot M}

Как сократить рациональную дробь?

Разложи числитель и знаменатель на множители и раздели на общий:

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x}