8 класс Алгебра 8 мин чтения

Умножение и деление рациональных дробей

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Умножение и деление рациональных дробей — операции, которые выполняются по чётким правилам: умножение числителей и знаменателей, а деление сводится к умножению на обратную дробь.

Проверь себя · 1 из 3

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, ей

__

Рациональные дроби встречаются в физике, экономике и даже кулинарии — всякий раз, когда нужно найти часть от части или разделить что-то на дробное число. Освоив эти операции, ты сможешь решать уравнения и задачи, которые раньше казались непосильными.

Содержание 9

Что такое рациональная дробь

Рациональная дробь — это выражение вида $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , где $P (x)$ и $Q (x)$ — многочлены, а $Q (x) \neq = 0$ .

Примеры рациональных дробей:

$\frac{3 x}{x + 2}$
$\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 5 x + 6}$
$\frac{2}{x - 3}$

Область допустимых значений (ОДЗ) — это все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю. Например, для $\frac{5}{x - 3}$ нужно $x \neq = 3$ .

Перед любыми действиями с дробями всегда нужно помнить об ОДЗ — она переносится в ответ.

Умножение рациональных дробей

Правило умножения: чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Это то же правило, что и для обычных дробей, — оно работает и для алгебраических выражений.

Почему именно так? Дробь $\frac{a}{b}$ означает « $a$ частей из $b$ ». Взять $\frac{c}{d}$ от этого значит взять $c$ частей из $d$ равных долей — итого $a \cdot c$ частей из $b \cdot d$ .

Важный приём — сокращение до умножения. Не перемножай числители и знаменатели «в лоб» — сначала разложи на множители и сократи общие множители крест-накрест. Это упрощает вычисления и сразу даёт несократимый результат.

Порядок действий при умножении дробей:

Разложить числители и знаменатели обоих дробей на множители.
Записать произведение как одну дробь.
Сократить общие множители.
Записать результат.

Деление рациональных дробей

Правило деления: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную делителю.

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Обратная дробь (или обратное число) для $\frac{c}{d}$ — это $\frac{d}{c}$ : числитель и знаменатель меняются местами.

Почему деление превращается в умножение? По определению, $a \div b = a \cdot \frac{1}{b}$ . Обратная к $\frac{c}{d}$ дробь как раз и есть $\frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{d}{c}$ . Поэтому деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

Порядок действий при делении дробей:

Записать деление как умножение на обратную дробь (перевернуть делитель).
Разложить числители и знаменатели на множители.
Сократить общие множители.
Записать результат.

Сокращение дробей и разложение на множители

Умножение и деление дробей почти всегда сопровождается сокращением — без него результат будет громоздким. Чтобы сократить, нужно уметь разложить многочлены на множители.

Основные приёмы разложения:

Вынесение общего множителя: $a x + a y = a (x + y)$
Формулы сокращённого умножения:
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
Разложение квадратного трёхчлена: $x^{2} + p x + q = (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , где $x_{1}, x_{2}$ — корни.

Сокращать можно только множители, но не слагаемые. Это самая частая ошибка: нельзя сократить, например, $\frac{x + 2}{x + 5}$ на $x$ — $x$ здесь слагаемое, а не множитель.

Особые случаи и знак дроби

Знак дроби. Если в числителе или знаменателе стоит выражение вида $(a - b)$ , а в другой дроби — $(b - a)$ , их можно связать: $(b - a) = - (a - b)$ . Это позволяет сократить кажущиеся «несократимыми» дроби.

Пример: $\frac{x - 3}{3 - x} = \frac{x - 3}{- ( x - 3 )} = - 1$ при $x \neq = 3$ .

Целое число как дробь. Целое число $n$ можно записать как $\frac{n}{1}$ и применять все те же правила умножения и деления.

Промежуточное сокращение. При цепочке умножений нескольких дробей подряд сначала запиши их все в виде одной большой дроби, разложи всё на множители, затем сократи — это надёжнее, чем сокращать по шагам.

Ключевые формулы

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Умножение дробей: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Деление дробей: умножить на обратную дробь делителя

(\frac{c}{d})^{- 1} = \frac{d}{c}

Обратная дробь: числитель и знаменатель меняются местами

(b - a) = - (a - b)

Смена знака скобок: (b − a) = −(a − b)

Запомни

При умножении дробей — числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
При делении — перевернуть вторую дробь и заменить деление умножением.
Сначала раскладывай на множители и сокращай, потом перемножай — так проще.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю ни на каком шаге — фиксируй ограничения в ответе.
$(b - a) = - (a - b)$ — это позволяет сократить дроби с «перевёрнутыми» скобками.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычислить:

\frac{6 x ^{2}}{5 y} \cdot \frac{10 y ^{2}}{3 x}

Подсказка: Сначала перемножи все числа отдельно (60 и 15), потом степени переменных отдельно — так меньше ошибок.

Записываем произведение одной дробью: $\frac{6 x ^{2}}{5 y} \cdot \frac{10 y ^{2}}{3 x} = \frac{6 x ^{2} \cdot 10 y ^{2}}{5 y \cdot 3 x}$
Перемножаем числитель и знаменатель: $\frac{6 x ^{2} \cdot 10 y ^{2}}{5 y \cdot 3 x} = \frac{60 x ^{2} y ^{2}}{15 x y}$
Сокращаем: $\frac{60 x ^{2} y ^{2}}{15 x y} = \frac{4 x y}{1} = 4 x y$

Ответ:

4 x y

при

x \neq = 0

y \neq = 0

Пример 2

Выполнить деление:

\frac{4 a ^{3}}{7 b} \div \frac{8 a}{21 b ^{2}}

Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\frac{4 a ^{3}}{7 b} \div \frac{8 a}{21 b ^{2}} = \frac{4 a ^{3}}{7 b} \cdot \frac{21 b ^{2}}{8 a}$
Записываем как одну дробь: $\frac{4 a ^{3} \cdot 21 b ^{2}}{7 b \cdot 8 a} = \frac{84 a ^{3} b ^{2}}{56 ab}$
Сокращаем числа: $\frac{84}{56} = \frac{3}{2}$ , степени: $\frac{a ^{3}}{a} = a^{2}$ , $\frac{b ^{2}}{b} = b$
Итог: $\frac{3 a ^{2} b}{2}$

Ответ:

\frac{3 a ^{2} b}{2}

при

a \neq = 0

b \neq = 0

Пример 3

Упростить:

\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 3 x} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x + 0}{x - 2}

. Дано:

\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 3 x} \cdot \frac{x}{x - 2}

Подсказка: Разложение числителя первой дроби — ключ к сокращению. Всегда смотри на разность квадратов.

Раскладываем числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$
Раскладываем знаменатель первой дроби: $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$
Записываем произведение: $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x + 3 )} \cdot \frac{x}{x - 2}$
Сокращаем множители $(x - 2)$ и $x$ : $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) \cdot x}{x ( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 2}{x + 3}$

Ответ:

\frac{x + 2}{x + 3}

при

x \neq = 0

x \neq = 2

x \neq = - 3

Пример 4

Упростить:

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4} \div \frac{x - 3}{x + 2}

Заменяем деление умножением: $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{x - 3}$
Раскладываем числитель первой дроби. Ищем корни $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : по формуле Виета $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ , поэтому $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$
Раскладываем знаменатель первой дроби: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$
Записываем: $\frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{x + 2}{x - 3}$
Сокращаем $(x - 2)$ , $(x + 2)$ , $(x - 3)$ : $\frac{( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 3 )} = 1$

Ответ:

1

при

x \neq = 2

x \neq = - 2

x \neq = 3

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Сложение вместо умножения знаменателей: при $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ пишут $\frac{a \cdot c}{b + d}$ — это грубая ошибка, знаменатели тоже перемножаются.
Забывают перевернуть делитель: при делении оставляют вторую дробь без изменений и просто перемножают.
Сокращают слагаемые: в дроби $\frac{x + 3}{x + 7}$ «сокращают» $x$ — это неверно, сокращать можно только множители.
Не учитывают ОДЗ: забывают указать, при каких значениях переменной дробь не определена.