8 класс Алгебра 7 мин чтения

Сложение и вычитание рациональных дробей

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Сложение и вычитание рациональных дробей выполняется через приведение к общему знаменателю, после чего числители складываются или вычитаются, а результат обязательно сокращается.

Проверь себя · 1 из 3

\frac{3}{5 a} + \frac{1}{5 a} = ?

Рациональные дроби встречаются везде: в физических формулах, расчётах скорости, смешивании растворов. Умение складывать и вычитать такие дроби — основа алгебры 8 класса и фундамент для решения уравнений с дробями.

Содержание 9

Что такое рациональная дробь

Рациональная дробь — это выражение вида $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , где $P (x)$ и $Q (x)$ — многочлены, а $Q (x) \neq = 0$ .

Примеры рациональных дробей: $\frac{3}{x - 1}$ , $\frac{x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 9}$ , $\frac{5}{x}$ .

Область допустимых значений (ОДЗ) — это все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю. ОДЗ надо указывать всегда: прежде чем выполнять действия, найдите, при каких $x$ знаменатели обращаются в нуль, и исключите эти значения.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Если знаменатели одинаковы, складывайте или вычитайте только числители, оставляя знаменатель общим:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ и $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

Важно: при вычитании дроби знак «минус» распространяется на весь числитель вычитаемой дроби, а не только на первый член. Пример:

$\frac{x + 3}{x - 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{( x + 3 ) - ( 2 x - 1 )}{x - 1} = \frac{x + 3 - 2 x + 1}{x - 1} = \frac{- x + 4}{x - 1}$

После действия обязательно попробуйте сократить полученную дробь.

Нахождение наименьшего общего знаменателя (НОЗ)

Если знаменатели разные, нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) — наименьший многочлен, кратный каждому из знаменателей.

Алгоритм нахождения НОЗ:

Разложите каждый знаменатель на множители.
Запишите НОЗ как произведение всех различных множителей, каждый из которых берётся в наибольшей степени.

Пример: знаменатели $x^{2} - 4$ и $x + 2$ .

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$
$x + 2 = (x + 2)$
НОЗ $= (x - 2) (x + 2)$

Дополнительные множители — это то, на что нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы получить НОЗ. Дополнительный множитель для дроби со знаменателем $(x + 2)$ равен $(x - 2)$ .

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Алгоритм:

Найдите НОЗ всех знаменателей.
Для каждой дроби найдите дополнительный множитель: $НОЗ \div знаменатель дроби$ .
Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Сложите или вычтите числители, оставив НОЗ знаменателем.
Раскройте скобки и приведите подобные в числителе.
Сократите результат, если возможно.

Почему можно умножать числитель и знаменатель на одно и то же число? Потому что $\frac{a \cdot m}{b \cdot m} = \frac{a}{b}$ при $m \neq = 0$ — это основное свойство дроби. Мы не меняем значение дроби, только её запись.

Сокращение результата и ОДЗ

После выполнения операции всегда проверяйте, можно ли сократить результат. Для этого разложите числитель и знаменатель на множители и сократите общие.

ОДЗ итогового выражения определяется по исходным знаменателям до сокращения. Даже если после сокращения знаменатель стал, например, $(x + 1)$ , ОДЗ всё равно включает ограничения из всех исходных знаменателей.

Пример: $\frac{x ^{2} - 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 1}{x + 2}$ при $x \neq = 1$ и $x \neq = - 2$ . Ограничение $x \neq = 1$ сохраняется, хотя в упрощённой дроби $(x - 1)$ уже нет.

Ключевые формулы

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

Сложение дробей с одинаковым знаменателем

\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

Вычитание дробей с одинаковым знаменателем

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}, m \neq = 0

Приведение дроби к новому знаменателю (основное свойство)

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \frac{НОЗ}{b} + c \cdot \frac{НОЗ}{d}}{НОЗ}

Сложение дробей с разными знаменателями через НОЗ

Запомни

При вычитании дроби знак «минус» распространяется на весь числитель вычитаемой дроби: $\frac{a}{c} - \frac{b - k}{c} = \frac{a - ( b - k )}{c} = \frac{a - b + k}{c}$ .
НОЗ — наименьший многочлен, кратный всем знаменателям; его находят через разложение на множители.
ОДЗ определяется по исходным знаменателям и не изменяется после сокращения дроби.
После любого действия с дробями — попробуй сократить результат.
Перед сложением или вычитанием всегда раскладывай знаменатели на множители — это упрощает поиск НОЗ.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычислите:

\frac{3 x}{x + 2} - \frac{6}{x + 2}

Знаменатели одинаковы: $x + 2$ . ОДЗ: $x \neq = - 2$ .
Вычитаем числители: $\frac{3 x}{x + 2} - \frac{6}{x + 2} = \frac{3 x - 6}{x + 2}$ .
Раскладываем числитель: $3 x - 6 = 3 (x - 2)$ .
Итог: $\frac{3 ( x - 2 )}{x + 2}$ . Сокращать нечего.

Ответ:

\frac{3 ( x - 2 )}{x + 2}

, при

x \neq = - 2

Пример 2

Найдите сумму:

\frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}}

Подсказка: Если один знаменатель является множителем другого, НОЗ — это больший знаменатель.

ОДЗ: $x \neq = 0$ .
НОЗ знаменателей $x$ и $x^{2}$ равен $x^{2}$ .
Приводим первую дробь: дополнительный множитель равен $x$ , поэтому $\frac{1}{x} = \frac{x}{x ^{2}}$ .
Складываем: $\frac{x}{x ^{2}} + \frac{2}{x ^{2}} = \frac{x + 2}{x ^{2}}$ .
Сократить нельзя: $x + 2$ и $x^{2}$ общих множителей не имеют.

Ответ:

\frac{x + 2}{x ^{2}}

, при

x \neq = 0

Пример 3

Упростите:

\frac{2}{x - 3} + \frac{x}{x + 3} - \frac{18}{x ^{2} - 9}

ОДЗ: $x \neq = 3$ и $x \neq = - 3$ .
Разложим: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ . НОЗ $= (x - 3) (x + 3)$ .
Дополнительный множитель для $\frac{2}{x - 3}$ равен $(x + 3)$ : $\frac{2}{x - 3} = \frac{2 ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$ .
Дополнительный множитель для $\frac{x}{x + 3}$ равен $(x - 3)$ : $\frac{x}{x + 3} = \frac{x ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$ .
Третья дробь уже имеет НОЗ в знаменателе: $\frac{18}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$ .
Собираем: $\frac{2 ( x + 3 ) + x ( x - 3 ) - 18}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$ .
Раскрываем числитель: $2 x + 6 + x^{2} - 3 x - 18 = x^{2} - x - 12$ .
Разложим числитель: $x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3)$ .
Сокращаем $(x + 3)$ : $\frac{( x - 4 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 4}{x - 3}$ .

Ответ:

\frac{x - 4}{x - 3}

, при

x \neq = 3

x \neq = - 3

Пример 4

Упростите:

\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x + 6} - \frac{3}{x ^{2} - 4}

Раскладываем знаменатели: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ , $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
ОДЗ: $x \neq = 2$ , $x \neq = 3$ , $x \neq = - 2$ .
НОЗ $= (x - 2) (x - 3) (x + 2)$ .
Дополнительный множитель для первой дроби: $(x + 2)$ . $\frac{x + 1}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 2 )}$ .
Дополнительный множитель для второй дроби: $(x - 3)$ . $\frac{3}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{3 ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 2 )}$ .
Вычитаем: $\frac{( x + 1 ) ( x + 2 ) - 3 ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 2 )}$ .
Раскрываем числитель: $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ , далее $x^{2} + 3 x + 2 - 3 x + 9 = x^{2} + 11$ .
Проверяем, делится ли $x^{2} + 11$ на один из множителей знаменателя — нет. Сокращать нечего.

Ответ:

\frac{x ^{2} + 11}{( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 2 )}

, при

x \neq = 2

x \neq = 3

x \neq = - 2

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Забывают раскрыть скобки при вычитании: пишут $\frac{a}{c} - \frac{b - k}{c} = \frac{a - b - k}{c}$ вместо $\frac{a - b + k}{c}$ .
Складывают знаменатели вместо того, чтобы находить НОЗ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} \neq = \frac{2}{2 x + 1}$ .
Теряют ОДЗ после сокращения дроби — ограничения из исходных знаменателей должны сохраняться.
Умножают на дополнительный множитель только числитель, забывая умножить и знаменатель тоже.