8 класс Алгебра 8 мин чтения

Преобразование рациональных выражений

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Рациональные выражения — это дроби, числитель и знаменатель которых содержат многочлены; умение их преобразовывать лежит в основе решения большинства алгебраических задач 8–9 класса.

Проверь себя · 1 из 3

Упрости

\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}

Рациональные выражения встречаются везде: в формулах физики, в уравнениях и неравенствах, в задачах на движение и работу. Освоив их преобразование, ты сможешь упрощать громоздкие выражения до элементарного вида и не бояться дробей в любых заданиях.

Содержание 10

Что такое рациональное выражение

Рациональное выражение — это выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью четырёх арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления). Оно не содержит корней из переменных и степеней с дробным показателем.

Если деления нет, выражение называют целым (например, $3 x^{2} - 5 x + 1$ ). Если деление на выражение, содержащее переменную, присутствует, выражение называют дробным. Дробное рациональное выражение имеет вид $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , где $P (x)$ и $Q (x)$ — многочлены.

Область допустимых значений (ОДЗ) — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дробного выражения ОДЗ задаётся условием $Q (x) \neq = 0$ . Нахождение ОДЗ — обязательный шаг при любых преобразованиях.

Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство: числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же выражение, не равное нулю, — значение дроби не изменится.

Формально: $\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot M}{Q \cdot M}$ при $M \neq = 0$ .

Это свойство лежит в основе двух ключевых операций:

Сокращение дроби — делим числитель и знаменатель на их общий множитель.
Приведение дроби к нужному знаменателю — умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель.

Важно: сокращать можно только множители, а не слагаемые. Ошибка

\frac{a + b}{a + c} = \frac{b}{c}

— грубейшее нарушение этого правила.

Сокращение алгебраических дробей

Чтобы сократить дробь, нужно:

Разложить числитель и знаменатель на множители (вынести за скобку, применить формулы сокращённого умножения или разложить трёхчлен).
Сократить — разделить числитель и знаменатель на общий множитель.
Указать ОДЗ (значения, при которых сокращённый множитель не равен нулю).

Формулы сокращённого умножения, которые чаще всего используются при разложении:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

Пример. Сократим $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 4 x + 4}$ .

Числитель: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Знаменатель: $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ .

Дробь принимает вид $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x + 2}{x - 2}$ при $x \neq = 2$ .

Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение: числители перемножаем, знаменатели перемножаем, затем сокращаем результат.

$\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{P \cdot R}{Q \cdot S}$

Деление: делим на дробь — умножаем на обратную.

$\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R} = \frac{P \cdot S}{Q \cdot R}$

Порядок действий при умножении/делении:

Разложить каждый числитель и знаменатель на множители.
Записать произведение одной дробью.
Сократить общие множители числителя и знаменателя.

Сокращать удобнее до перемножения — это уменьшает объём вычислений.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

С одинаковыми знаменателями — складываем и вычитаем числители, знаменатель оставляем:

$\frac{P}{Q} \pm \frac{R}{Q} = \frac{P \pm R}{Q}$

С разными знаменателями — сначала приводим к общему знаменателю:

Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
Для каждой дроби найти дополнительный множитель: НОК делим на знаменатель данной дроби.
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Сложить (вычесть) числители, знаменатель оставить.
По возможности сократить результат и указать ОДЗ.

Как найти НОК многочленов:

Разложить оба знаменателя на множители.
В НОК войдут все множители, встретившиеся хотя бы в одном знаменателе, в наибольшей степени.

Знак минус перед дробью переносится в числитель: $- \frac{a - b}{c} = \frac{- ( a - b )}{c} = \frac{b - a}{c}$ . Это часто позволяет сократить дробь или упростить сложение.

Ключевые формулы

\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot M}{Q \cdot M}, M \neq = 0

Основное свойство дроби (сокращение/приведение)

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{P \cdot R}{Q \cdot S}

Умножение дробей

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P \cdot S}{Q \cdot R}

Деление дробей (умножение на обратную)

\frac{P}{Q} + \frac{R}{S} = \frac{P \cdot S + R \cdot Q}{Q \cdot S}

Сложение дробей с разными знаменателями

Запомни

ОДЗ дробного выражения определяется условием: знаменатель не равен нулю.
Сокращать можно только множители, но не слагаемые.
При умножении дробей удобнее сначала разложить на множители и сократить, а потом перемножать.
При вычитании дроби знак минус меняет знаки всех слагаемых числителя: $- \frac{a - b}{c} = \frac{b - a}{c}$ .
НОК знаменателей — наименьший многочлен, который делится на каждый из знаменателей.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Сократите дробь:

\frac{6 x ^{2} y}{9 x y ^{2}}

Подсказка: Раздели числа и каждую переменную отдельно, используя правило

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

Разложим числитель и знаменатель на множители: числитель $6 x^{2} y = 2 \cdot 3 \cdot x^{2} \cdot y$ , знаменатель $9 x y^{2} = 3^{2} \cdot x \cdot y^{2}$ .
Общий множитель числителя и знаменателя: $3 \cdot x \cdot y$ .
$\frac{6 x ^{2} y}{9 x y ^{2}} = \frac{2 \cdot 3 \cdot x ^{2} \cdot y}{3 ^{2} \cdot x \cdot y ^{2}} = \frac{2 x}{3 y}$ при $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

Ответ:

\frac{2 x}{3 y}

, при

x \neq = 0

y \neq = 0

Пример 2

Сократите дробь:

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9}

Подсказка: Сразу ищи формулы сокращённого умножения в числителе и знаменателе — они встречаются почти всегда.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Разложим знаменатель по формуле полного квадрата: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ .
$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{x - 3}{x + 3}$ при $x \neq = - 3$ .

Ответ:

\frac{x - 3}{x + 3}

, при

x \neq = - 3

Пример 3

Выполните умножение:

\frac{x ^{2} - 1}{x + 3} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - x}

Подсказка: Разложи все множители до перемножения — тогда сокращение будет очевидным.

Раскладываем числитель первой дроби: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
Числитель второй дроби: $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ .
Знаменатель второй дроби: $x^{2} - x = x (x - 1)$ .
Записываем произведение: $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x + 3} \cdot \frac{x ( x + 3 )}{x ( x - 1 )}$ .
Сокращаем общие множители $(x - 1)$ , $x$ и $(x + 3)$ : результат равен $\frac{x + 1}{1} = x + 1$ при $x \neq = 0$ , $x \neq = 1$ , $x \neq = - 3$ .

Ответ:

x + 1

, при

x \neq = 0

x \neq = 1

x \neq = - 3

Пример 4

Выполните действие:

\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1}

Подсказка: Замечай, что один знаменатель является множителем другого — тогда НОК совпадает с большим знаменателем.

Разложим знаменатель второй дроби: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
Общий знаменатель (НОК) равен $(x - 1) (x + 1)$ .
Приводим первую дробь: дополнительный множитель равен $(x + 1)$ , получаем $\frac{1 \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$ .
Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель: $\frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$ .
Вычитаем числители: $\frac{( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$ .
Сокращаем $(x - 1)$ : $\frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{x + 1}$ при $x \neq = 1$ , $x \neq = - 1$ .

Ответ:

\frac{1}{x + 1}

, при

x \neq = 1

x \neq = - 1

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Сокращение слагаемых вместо множителей: $\frac{x + 3}{x + 5} \neq = \frac{3}{5}$ — сокращать $x$ нельзя, он является слагаемым.
Забыть указать ОДЗ: после сокращения дроби нужно помнить, что значения, обнуляющие сокращённый множитель, по-прежнему не входят в область допустимых значений.
При делении на дробь делить, а не умножать на обратную: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \neq = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ — нужно умножать на $\frac{d}{c}$ .
При вычитании дроби забыть изменить знаки в числителе: $\frac{a}{c} - \frac{b - 1}{c} \neq = \frac{a - b - 1}{c}$ , правильно $\frac{a - ( b - 1 )}{c} = \frac{a - b + 1}{c}$ .

Частые вопросы

Что такое рациональное выражение?

Выражение из чисел и переменных, в котором есть только сложение, вычитание, умножение, деление и натуральные степени. Например,

\frac{x + 1}{x - 2} + 3 x

. Корня из переменной в нём нет.

Как сократить рациональную дробь?

Разложить числитель и знаменатель на множители и разделить их на общий множитель:

\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x + 2} = x - 2

при

x \neq = - 2