Площадь треугольника: все формулы и как найти

Почему половина? Дострой треугольник до параллелограмма с тем же основанием и высотой. Параллелограмм делится диагональю на два одинаковых треугольника, а его площадь равна $ah$.

Основание 10 см, высота 6 см:

$S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6=30{\text{ см}}^2$

Высота это перпендикуляр из вершины к противоположной стороне. У тупоугольного треугольника высота может упасть за его пределы, на продолжение стороны. Формула от этого не меняется.

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны. Один катет служит основанием, другой высотой:

$S=\frac{1}{2}ab$

Катеты 3 и 4: $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$.

Катеты 5 и 12: $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$.

Если даны гипотенуза и катет, сначала найди второй катет по теореме Пифагора. Гипотенуза 10, катет 6: второй катет $\sqrt{100-36}=8$, площадь $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$.

В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам. Поэтому высоту находят по теореме Пифагора.

Стороны 5, 5 и основание 6. Половина основания 3, высота $\sqrt{25-9}=4$:

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ есть готовая формула:

$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Сторона 6: $S=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\approx 15,59$.

Когда высоты нет, а известны все три стороны, помогает формула Герона. Сначала найди полупериметр $p$, половину суммы сторон.

$p=\frac{a+b+c}{2}$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Стороны 13, 14 и 15. Полупериметр $p=21$:

$S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$

Стороны 3, 4 и 5. Полупериметр $p=6$:

$S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{36}=6$

Ответ совпал с формулой для катетов: треугольник 3, 4, 5 прямоугольный.

В 9 классе появляется формула с синусом:

$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$

Здесь $\gamma$ это угол между сторонами $a$ и $b$.

Стороны 6 и 8, угол между ними 30°. Синус 30° равен $\frac{1}{2}$:

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=12$

При угле 90° синус равен 1, и формула превращается в площадь прямоугольного треугольника $\frac{1}{2}ab$.

• Забыли половину. Основание 10, высота 6, записали $S=60$. Правильно $30$.
• Взяли боковую сторону вместо высоты. В треугольнике 5, 5, 6 посчитали $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5=15$. Высота здесь 4, правильно $12$.
• Высоту провели не к той стороне. Высота и основание должны быть парой: высота опущена именно на это основание.
• Подставили гипотенузу. В треугольнике 3, 4, 5 посчитали $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5=10$. Нужны катеты, правильно $6$.
• Взяли периметр вместо полупериметра. В формуле Герона $p$ это половина суммы сторон.
• Смешали единицы. Основание 2 м, высота 50 см. Переведи в одни единицы: $\frac{1}{2}\cdot 200\cdot 50=5000{\text{ см}}^2=0,5{\text{ м}}^2$.