9 класс Геометрия 8 мин чтения

Объёмы призмы и пирамиды

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту:

V = S_{осн} \cdot h

. Объём пирамиды с тем же основанием и той же высотой в 3 раза меньше:

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

. Пример: у призмы с основанием

12 см^{2}

и высотой 10 см объём

120 см^{3}

, у такой же пирамиды

40 см^{3}

. Высоту берут по перпендикуляру, а не по боковому ребру.

Проверь себя · 1 из 3

Площадь основания пирамиды равна

6

, высота пирамиды равна

27

. Чему равен объём?

Объём тела показывает, сколько пространства оно занимает — именно этим пользуются архитекторы при расчёте материалов, а строители при заливке фундаментов. Призмы и пирамиды встречаются буквально везде: от формы крыши дома до египетских монументов.

V_призмы = S·h; V_{пирамиды} = S·h/3

Содержание 9

Призма: что это и как устроена

Призма — многогранник, у которого два основания являются равными и параллельными многоугольниками, а боковые грани — параллелограммы.

Важнейшие виды призм:

Прямая призма: боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. У неё боковые грани — прямоугольники.
Правильная призма: прямая призма, у которой основание — правильный многоугольник.

Высота призмы $h$ — перпендикуляр, опущенный из одного основания на плоскость другого. У прямой призмы высота равна длине бокового ребра.

Площадь основания $S_{осн}$ — площадь одного из двух равных многоугольников-оснований. Вид формулы зависит от типа многоугольника (прямоугольник, треугольник, правильный шестиугольник и т. д.).

Объём прямой призмы

Объём прямой призмы вычисляется по принципу: взять площадь основания и «растянуть» её по высоте. Иначе говоря, тело как бы складывается из бесконечно тонких слоёв одинакового поперечного сечения.

Формула: $V = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота призмы.

Эта формула работает для любой прямой призмы: треугольной, четырёхугольной, шестиугольной и т. д. Главное — правильно найти $S_{осн}$ .

Частные случаи оснований:

Прямоугольник $a \times b$ : $S_{осн} = a \cdot b$ .
Прямоугольный треугольник с катетами $a$ , $b$ : $S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b$ .
Правильный треугольник со стороной $a$ : $S_{осн} = \frac{a ^{2} 3}{4}$ .
Правильный шестиугольник со стороной $a$ : $S_{осн} = \frac{3 a ^{2} 3}{2}$ .

Пирамида: что это и как устроена

Пирамида — многогранник, у которого одно основание является многоугольником, а все остальные грани — треугольники с общей вершиной.

Высота пирамиды $h$ — перпендикуляр из вершины на плоскость основания. Основание этого перпендикуляра называется центром основания пирамиды (у правильной пирамиды он совпадает с центром правильного многоугольника).

Правильная пирамида — пирамида, у которой:

Основание — правильный многоугольник.
Вершина проецируется в центр основания (высота проходит через центр).

Ключевое отличие пирамиды от призмы: при движении вверх поперечное сечение уменьшается, сужаясь к вершине. Поэтому объём пирамиды в три раза меньше, чем объём призмы с тем же основанием и высотой.

Объём пирамиды

Формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.

Почему именно $\frac{1}{3}$ ? Можно разбить прямоугольную призму на три равные пирамиды с одинаковыми основаниями и высотой. Оказывается, каждая из них занимает ровно треть объёма призмы — это строго доказывается через принцип Кавальери. Поэтому коэффициент $\frac{1}{3}$ — не просто «магическое число», а следствие геометрической структуры тела.

Формула одинакова для любой пирамиды (не только правильной): треугольной, четырёхугольной, с произвольным основанием. Достаточно знать $S_{осн}$ и $h$ .

Полезное сравнение:
| Тело | Формула объёма |
|---|---|
| Прямая призма | $S_{осн} \cdot h$ |
| Пирамида | $\frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ |

Единицы объёма и практические замечания

Объём измеряется в кубических единицах: $мм^{3}$ , $см^{3}$ , $дм^{3}$ , $м^{3}$ .

При решении задач все длины должны быть в одних единицах до подстановки в формулу. Перевод:

$1 дм^{3} = 1000 см^{3}$
$1 м^{3} = 1000000 см^{3}$

Чтобы найти объём, нужно:

Определить вид тела (призма или пирамида).
Найти площадь основания $S_{осн}$ — по соответствующей формуле площади фигуры.
Найти высоту $h$ тела — иногда её надо вычислить через теорему Пифагора.
Подставить в формулу объёма.

Ключевые формулы

V = S_{осн} \cdot h

Объём прямой призмы (любой)

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

Объём пирамиды (любой)

S = \frac{a ^{2} 3}{4}

Площадь правильного треугольника (для основания)

S = \frac{3 a ^{2} 3}{2}

Площадь правильного шестиугольника (для основания)

Запомни

Объём призмы: $V = S_{осн} \cdot h$ — площадь основания умножить на высоту.
Объём пирамиды в три раза меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ .
Высота тела — это перпендикуляр между основаниями (призма) или из вершины на основание (пирамида), а не боковое ребро.
Формулы объёма одинаково применимы к правильным и неправильным призмам/пирамидам — главное знать $S_{осн}$ и $h$ .
Перед подстановкой привести все длины к одним единицам измерения.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Прямоугольная призма имеет основание со сторонами

a = 4

см и

b = 6

см. Высота призмы

h = 5

см. Найдите объём призмы.

Находим площадь прямоугольного основания: $S_{осн} = a \cdot b = 4 \cdot 6 = 24$ см $^{2}$ .
Применяем формулу объёма прямой призмы: $V = S_{осн} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120$ см $^{3}$ .

Ответ:

V = 120

см

^{3}

Пример 2

Основание правильной треугольной призмы — правильный треугольник со стороной

a = 6

см. Высота призмы

h = 10

см. Найдите объём.

Подсказка: Площадь правильного треугольника содержит

3

— оставляй её в точном виде до последнего шага.

Находим площадь правильного треугольника: $S_{осн} = \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{6 ^{2} 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93$ см $^{2}$ .
Применяем формулу объёма призмы: $V = S_{осн} \cdot h = 93 \cdot 10 = 903$ см $^{3}$ .
Приближённое значение: $903 \approx 90 \cdot 1, 732 \approx 155, 9$ см $^{3}$ .

Ответ:

V = 903 \approx 155, 9 см

^{3}

Пример 3

Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание со стороной

a = 6

см и высоту

h = 4

см. Найдите объём пирамиды.

Подсказка: Не забывай делить на 3 — именно это отличает формулу пирамиды от формулы призмы.

Находим площадь квадратного основания: $S_{осн} = a^{2} = 6^{2} = 36 см$ $^{2}$ .
Применяем формулу объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = \frac{144}{3} = 48$ см $^{3}$ .

Ответ:

V = 48

см

^{3}

Пример 4

Правильная треугольная пирамида имеет основание — правильный треугольник со стороной

a = 6

см. Боковое ребро пирамиды

l = 5

см. Найдите объём пирамиды.

Подсказка: Если дано боковое ребро, а не высота — сначала найди высоту через теорему Пифагора, используя радиус описанной окружности основания.

Находим центр основания — точку $O$ , равноудалённую от вершин. Для правильного треугольника радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{3} = \frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23 см$ .
Высота пирамиды $h$ связана с боковым ребром $l$ и радиусом $R$ по теореме Пифагора (треугольник $V O A$ , где $V$ — вершина, $O$ — центр основания): $h^{2} + R^{2} = l^{2}$ , откуда $h^{2} = l^{2} - R^{2} = 25 - 12 = 13$ , то есть $h = 13$ см.
Находим площадь основания: $S_{осн} = \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93$ см $^{2}$ .
Применяем формулу объёма: $V = \frac{1}{3} \cdot 93 \cdot 13 = 339$ см $^{3}$ .
Приближённое значение: $339 \approx 3 \cdot 6, 245 \approx 18, 7$ см $^{3}$ .

Ответ:

V = 339 \approx 18, 7 см

^{3}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают высоту пирамиды с апофемой (апофема — перпендикуляр из вершины на сторону основания, а не на само основание). В формулу $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ подставляют апофему вместо высоты.
Забывают делить на 3 при вычислении объёма пирамиды — применяют формулу призмы $S_{осн} \cdot h$ .
Считают площадь боковой грани вместо площади основания при нахождении $S_{осн}$ .
Смешивают единицы: одну длину берут в сантиметрах, другую в дециметрах, и получают неверный ответ.