Длина окружности и дуги. Площадь круга и сектора

Ещё в древности заметили: если разделить длину любой окружности на её диаметр, всегда получается одно и то же число. Это иррациональное число назвали $\pi$ (пи):

$\pi =\frac{C}{d}=\frac{C}{2r}\approx 3,14159\dots$

Отсюда сразу следует формула длины окружности:

$C=2\pi r=\pi d$

где $r$ — радиус, $d=2r$ — диаметр. В задачах используют приближение $\pi \approx 3,14$, если не сказано иное.

Дуга — часть окружности, ограниченная двумя точками. Если центральный угол, опирающийся на дугу, равен $\alpha$ (в градусах), то дуга составляет $\frac{\alpha }{360}$ долю всей окружности.

Поэтому длина дуги:

$l=\frac{\pi r\alpha }{180}$

где $\alpha$ — центральный угол в градусах, $r$ — радиус.

Логика формулы: вся окружность — это дуга при $\alpha =360^{\circ }$. Подставим: $l=\frac{\pi r\cdot 360}{180}=2\pi r$ — верно!

Частные случаи:

• Полуокружность ($\alpha =180^{\circ }$): $l=\pi r$.
• Четверть окружности ($\alpha =90^{\circ }$): $l=\frac{\pi r}{2}$.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью (включая саму окружность и все внутренние точки).

Площадь круга с радиусом $r$:

$S=\pi r^2$

Откуда берётся эта формула? Можно разрезать круг на очень много тонких секторов-«лепестков» и выложить их в ряд, чередуя остриём вверх и вниз. Получится почти прямоугольник с высотой $r$ и основанием $\pi r$ (половина длины окружности). Площадь такого прямоугольника: $r\cdot \pi r=\pi r^2$. Чем тоньше лепестки, тем точнее приближение — в пределе получаем точную формулу.

Через диаметр $d$: $S=\frac{\pi d^2}{4}$.

Круговой сектор — фигура, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведёнными к концам этой дуги. Центральный угол сектора равен $\alpha$ (в градусах).

Сектор — это $\frac{\alpha }{360}$ часть всего круга, поэтому:

$S_{\text{сект}}=\frac{\pi r^2\alpha }{360}$

Эту же формулу можно записать через длину дуги $l$:

$S_{\text{сект}}=\frac{1}{2}lr$

потому что $l=\frac{\pi r\alpha }{180}$, и $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi r\alpha }{180}\cdot r=\frac{\pi r^2\alpha }{360}$.

Частный случай: полукруг ($\alpha =180^{\circ }$): $S=\frac{\pi r^2}{2}$.

Все четыре формулы объединяет одна величина — радиус $r$ и число $\pi$. Запомни таблицу:

Алгоритм решения задач:

1. Выяви, что дано: радиус (диаметр), угол или длина дуги.
2. Запиши нужную формулу.
3. Выразить неизвестную величину и вычисли.
4. Проверь единицы измерения: длина — в линейных единицах (см, м), площадь — в квадратных (см², м²).

Если дан диаметр — сначала найди радиус: $r=\frac{d}{2}$.