Числовые последовательности: задания с ответами, 9 класс

0 из 10

Числовые последовательности

…

Примеры заданий с ответами

1Продолжи: 9, 16, 25, 36, …

Ответ: 49

2Последовательность задана формулой

a_{n} = \frac{12}{n}

. Найди

a_{6}

Чтобы найти член последовательности, подставляем его номер вместо $n$ в формулу.
При $n = 6$ : $a_{6} = \frac{12}{6} = 2$ .
Ответ: $2$ .

3Последовательность задана формулой

a_{n} = 2 n - 11

. Сколько её членов отрицательны?

4К какому числу приближаются члены последовательности

a_{n} = \frac{3 n + 1}{n}

при больших

n

Разделим почленно: $a_{n} = \frac{3 n + 1}{n} = 3 + \frac{1}{n}$ .
При больших $n$ дробь $\frac{1}{n}$ становится сколь угодно малой, поэтому $a_{n}$ приближается к $3$ .
Ответ: $3$ .

5Докажи, что последовательность

a_{n} = \frac{n + 2}{n}

убывает: найди разность

a_{n + 1} - a_{n}

и запиши её в упрощённом виде.

Преобразуем: $a_{n} = \frac{n + 2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$ .
Разность: $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n} = \frac{2 n - 2 ( n + 1 )}{n ( n + 1 )} = - \frac{2}{n ( n + 1 )}$ .
Эта величина отрицательна при всех натуральных $n$ , значит последовательность убывает.
Ответ: $- \frac{2}{n ( n + 1 )}$ .

a_{n} = 2^{n}

b_{n} = n^{3}

. Докажи, что начиная с некоторого номера

a_{n} > b_{n}

, и найди этот наименьший номер.

Сравниваем $a_{n} = 2^{n}$ и $b_{n} = n^{3}$ при росте $n$ , проверяя, где разность меняет знак.
При $n = 9$ : $2^{9} = 512$ , а $9^{3} = 729$ , то есть $a_{9} < b_{9}$ . При $n = 10$ : $2^{10} = 1024$ , а $1 0^{3} = 1000$ , значит $a_{10} > b_{10}$ .
Дальше неравенство сохраняется: при $n \geq 10$ показательная функция растёт в $2$ раза за шаг, а $\frac{( n + 1 ) ^{3}}{n ^{3}} = (1 + \frac{1}{n})^{3} < 2$ , поэтому $a_{n}$ обгоняет $b_{n}$ всё сильнее.
Ответ: наименьший номер $n = 10$ ( $2^{10} = 1024 > 1000 = 1 0^{3}$ ), и далее $a_{n} > b_{n}$ всегда.