9 класс Алгебра 9 мин чтения

Степенная функция. Корень n-й степени

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Корнем

n

-й степени из числа

a

называют число

b

, для которого

b^{n} = a

3 - 8 = - 2

, потому что

(- 2)^{3} = - 8

. При чётном

n

корень существует только при

a \geq 0

, а при нечётном

n

для любого

a

. Функция

y = x^{n}

при чётном

n

чётная, её график симметричен относительно оси

O y

; при нечётном

n

функция нечётная.

Проверь себя · 1 из 3

Вычисли

327

Степенные функции описывают зависимости, которые встречаются повсюду: площадь квадрата, объём куба, скорость падения тела. Умение работать с корнями n-й степени открывает путь к решению уравнений вида $x^{n} = a$ и к пониманию иррациональных чисел.

y = x³ — нечётная функция, симметрична относительно нуля

Содержание 9

Степенная функция: определение и общий вид

Степенная функция — это функция вида $y = x^{n}$ , где $n$ — фиксированное натуральное число, $x$ — переменная.

Значение $n$ называют показателем степени. Именно от него зависит всё поведение функции: область определения, чётность, монотонность, форма графика.

Примеры:

$y = x^{2}$ — квадратичная функция (парабола)
$y = x^{3}$ — кубическая функция
$y = x^{4}$ , $y = x^{5}$ — функции с более высокими степенями

Область определения $y = x^{n}$ при натуральном $n$ — все действительные числа $R$ , то есть $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Свойства степенной функции при натуральном показателе

Свойства функции $y = x^{n}$ зависят от того, чётный или нечётный показатель $n$ .

При чётном $n$ (например $n = 2, 4, 6, \dots$ ):

Функция чётная: $f (- x) = f (x)$ , график симметричен относительно оси $O y$
Область значений: $y \geq 0$
Убывает при $x < 0$ , возрастает при $x > 0$
Наименьшее значение $y = 0$ при $x = 0$

При нечётном $n$ (например $n = 1, 3, 5, \dots$ ):

Функция нечётная: $f (- x) = - f (x)$ , график симметричен относительно начала координат
Область значений: все действительные числа $R$
Строго возрастает на всей числовой оси

Таблица сравнения:

Свойство	Чётный $n$	Нечётный $n$
Функция	чётная	нечётная
Значения	$y \geq 0$	любые
Рост	убывает при $x < 0$ , растёт при $x > 0$	растёт везде

При $n \geq 2$ с ростом $n$ график «прижимается» к оси $O x$ вблизи нуля и «круче» уходит вверх при $∣ x ∣ > 1$ .

Корень n-й степени: определение

Корень $n$ -й степени из числа $a$ — это такое число $b$ , что $b^{n} = a$ .

Запись: $b = n a$ .

Здесь $n$ — натуральное число, $n \geq 2$ ; его называют показателем корня, $a$ — подкоренным выражением.

Когда корень существует?

Если $n$ — нечётное: корень существует при любом $a \in R$ (в том числе при $a < 0$ ), и он единственный. Например, $3 - 8 = - 2$ , потому что $(- 2)^{3} = - 8$ .
Если $n$ — чётное: корень существует только при $a \geq 0$ , и принимается неотрицательное значение (арифметический корень). Например, $416 = 2$ , а не $- 2$ .

Важно: при чётном

n

выражение

n a

при

a < 0

не определено в области действительных чисел.

Свойства корня n-й степени

Корни $n$ -й степени подчиняются тем же правилам, что и квадратные корни, обобщённым на любой показатель.

Основные свойства (при допустимых значениях переменных):

$n a \cdot b = n a \cdot n b$
$n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$ , $b \neq = 0$
$(n a)^{n} = a$
$n a^{n} = a$ при нечётном $n$
$n a^{n} = ∣ a ∣$ при чётном $n$

Почему $n a^{n} = ∣ a ∣$ при чётном $n$ ? Потому что при чётном показателе арифметический корень всегда неотрицателен. Если $a < 0$ , то $a^{n} > 0$ (отрицательное в чётную степень), и $n a^{n}$ должно быть положительным, то есть равным $∣ a ∣$ .

Связь с дробными показателями степени: $n a = a^{\frac{1}{n}}, n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}$ Это позволяет применять к корням все свойства степеней.

График степенной функции и корень как обратная операция

Функция $y = n x$ является обратной к функции $y = x^{n}$ (при соответствующих ограничениях области).

Их графики симметричны относительно прямой $y = x$ .

При нечётном $n$ : функция $y = n x$ определена при всех $x \in R$ , строго возрастает, проходит через начало координат.

При чётном $n$ : функция $y = n x$ определена при $x \geq 0$ , возрастает, график начинается в точке $(0, 0)$ .

Сравнение значений корней: если $0 < a < 1$ , то $n a > a$ (корень «больше» числа); если $a > 1$ , то $n a < a$ . Это следует из формы графика $y = x^{\frac{1}{n}}$ .

Функцию $y = x^{n}$ при натуральном $n$ можно рассматривать и с дробным показателем: $y = x^{\frac{m}{n}} = n x^{m}$ . Такие функции называют степенными функциями с дробным показателем.

Ключевые формулы

n a = b ⟺ b^{n} = a

Определение корня n-й степени

n a \cdot b = n a \cdot n b

Корень произведения

n a^{n} = ∣ a ∣, n — чётное

Корень n-й степени из n-й степени (чётный n)

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

Связь корня с дробным показателем

Запомни

При чётном показателе $n$ корень $n a$ существует только при $a \geq 0$ и сам неотрицателен.
При нечётном $n$ корень $n a$ существует при любом $a$ , знак корня совпадает со знаком $a$ .
Формула $n a^{n} = ∣ a ∣$ при чётном $n$ , но $n a^{n} = a$ при нечётном $n$ .
Функция $y = x^{n}$ при чётном $n$ чётная (симметрична по $O y$ ), при нечётном $n$ — нечётная (симметрична по началу координат).
Корень можно записать как дробную степень: $n a = a^{\frac{1}{n}}$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычислите

3 - 125

Подсказка: Показатель нечётный — корень из отрицательного числа существует и отрицателен.

Ищем число $b$ такое, что $b^{3} = - 125$ .
$(- 5)^{3} = - 125$ , значит $3 - 125 = - 5$ .

Ответ:

3 - 125 = - 5

Пример 2

Упростите

4 x^{4}

при

x \in R

Показатель корня чётный ( $n = 4$ ), поэтому применяем формулу $n a^{n} = ∣ a ∣$ .
$4 x^{4} = ∣ x ∣$ .

Ответ:

4 x^{4} = ∣ x ∣

Пример 3

Вычислите

38 \cdot 327

Применяем свойство корня произведения: $38 \cdot 327 = 3 8 \cdot 27$ .
$8 \cdot 27 = 216$ .
$3216 = 6$ , так как $6^{3} = 216$ .

Ответ:

38 \cdot 327 = 6

Пример 4

Упростите выражение

\frac{5 a ^{3} \cdot 5 a ^{2}}{5 a}

при

a > 0

Подсказка: Переводи корни в степени с дробным показателем — тогда удобно применять правила действий со степенями.

Применяем свойство произведения в числителе: $5 a^{3} \cdot 5 a^{2} = 5 a^{3} \cdot a^{2} = 5 a^{5}$ .
$5 a^{5} = a$ (показатель нечётный, $a > 0$ ).
Делим: $\frac{a}{5 a} = \frac{a}{a ^{\frac{1}{5}}} = a^{1 - \frac{1}{5}} = a^{\frac{4}{5}}$ .
Записываем в виде корня: $a^{\frac{4}{5}} = 5 a^{4}$ .

Ответ:

5 a^{4}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Ошибка: считать, что $4 (- 2)^{4} = - 2$ . Верно: $4 (- 2)^{4} = ∣ - 2∣ = 2$ , так как при чётном показателе корень всегда неотрицателен.
Ошибка: думать, что $n a + b = n a + n b$ . Корень суммы не равен сумме корней — это свойство работает только для произведения.
Ошибка: забывать проверять знак подкоренного выражения при чётном $n$ (подставлять отрицательное число под корень чётной степени).
Ошибка: путать $n a^{m}$ и $(n a)^{m}$ — они равны между собой, но путают при записи; оба равны $a^{\frac{m}{n}}$ .