8 класс Геометрия 9 мин чтения

Касательная к окружности. Метрические соотношения

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Касательная к окружности — прямая, которая касается окружности ровно в одной точке; метрические соотношения связывают длины отрезков касательных, секущих и хорд, проведённых из одной точки.

Проверь себя · 1 из 3

Расстояние от центра окружности радиуса

r

до прямой

p

равно

d

. Каково взаимное расположение прямой

p

и окружности, если

r = 17

см,

d = 170

мм?

Касательные к окружностям встречаются везде: колёса касаются дороги именно по касательной, а инженеры рассчитывают передачи ремнём через длины касательных. Умение работать с касательными и секущими из одной точки — ключевой инструмент при решении задач на вписанные и описанные фигуры.

касательная ⊥ радиусу, проведённому в точку касания

Содержание 9

Касательная: определение и основное свойство

Определение. Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

Если прямая и окружность имеют две общие точки — прямая называется секущей; если общих точек нет — прямая не пересекает окружность.

Признак касательной. Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Формально: если $O$ — центр окружности, $A$ — точка касания, $t$ — касательная, то $O A ⊥ t$ .

Почему так? Расстояние от центра до прямой равно длине перпендикуляра из центра на эту прямую. Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда это расстояние равно радиусу $r$ . Кратчайшее расстояние от точки до прямой — перпендикуляр, значит $O A$ перпендикулярен касательной.

Отрезок касательной из внешней точки

Определение. Если из точки

M

, лежащей вне окружности, проведены две касательные к окружности, касающиеся её в точках

A

B

, то отрезки

M A

M B

называются отрезками касательных, проведённых из точки

M

Теорема об отрезках касательных. Отрезки двух касательных, проведённых из одной внешней точки, равны между собой:

M A = M B .

Доказательство. Рассмотрим треугольники $O A M$ и $O B M$ . В каждом из них $∠ O A M = ∠ O B M = 9 0^{\circ}$ (радиус перпендикулярен касательной). Гипотенуза $O M$ общая, $O A = O B = r$ . По признаку равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и катет) $△ O A M = △ O B M$ , откуда $M A = M B$ .

Следствие. Прямая

O M

является осью симметрии пары касательных, а

∠ A O M = ∠ B O M

(биссектриса угла

A O B

проходит через точку

M

и центр

O

Секущая из внешней точки. Степень точки

Определение. Если прямая, проведённая из внешней точки

M

, пересекает окружность в точках

C

D

, то

M C

M D

— отрезки секущей, причём

M C

— внешняя часть секущей,

M D

— полная длина от

M

до дальней точки пересечения.

Теорема о касательной и секущей. Если из внешней точки

M

проведены касательная

M A

(точка касания

A

) и секущая, пересекающая окружность в точках

C

D

(причём

C

ближе к

M

), то:

M A^{2} = M C \cdot M D .

Пояснение. Произведение $M C \cdot M D$ называется степенью точки $M$ относительно окружности. Примечательно, что это произведение одинаково для любой секущей из той же точки — оно зависит только от расстояния $O M$ и радиуса $r$ : $M C \cdot M D = O M^{2} - r^{2} .$

Доказательство теоремы (через подобие). Рассмотрим треугольники $△ M A C$ и $△ M D A$ . Угол $M$ общий. Вписанный угол $∠ M A C$ опирается на дугу $A C$ ; угол $∠ M D A$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $A C$ (т.к. касательная образует с хордой $A C$ угол, равный вписанному углу в альтернативном сегменте). Значит $△ M A C \sim △ M D A$ (по двум углам), откуда $\frac{M A}{M D} = \frac{M C}{M A}$ , то есть $M A^{2} = M C \cdot M D$ .

Теорема о двух секущих из одной точки

Теорема о двух секущих. Если из внешней точки

M

проведены две секущие, первая пересекает окружность в точках

C

D

, вторая — в точках

E

F

(причём

C

E

ближе к

M

), то:

M C \cdot M D = M E \cdot M F .

Смысл. Произведение двух отрезков любой секущей из данной внешней точки постоянно — это и есть степень точки относительно окружности.

Доказательство. Треугольники $△ M C F$ и $△ M E d$ ... рассмотрим $△ M C E$ и $△ M F D$ ... Более аккуратно: треугольники $△ M C F$ и $△ M E D$ подобны по двум углам (угол $M$ — общий, а вписанные углы $∠ M C F$ и $∠ M E D$ опираются на одну и ту же дугу). Проще всего использовать уже доказанный факт: каждое из произведений равно $O M^{2} - r^{2}$ .

Частный случай — хорды. Если точка $M$ лежит внутри окружности и через неё проведены две хорды $C D$ и $E F$ , то: $M C \cdot M D = M E \cdot M F .$ Здесь $M$ делит каждую хорду на два отрезка, и произведения этих отрезков равны.

Угол между касательной и хордой

Теорема. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, которую стягивает эта хорда:

∠ (t, A B) = \frac{1}{2} ⌣ A B,

где

⌣ A B

— дуга

A B

, лежащая «внутри» угла.

Пояснение. Точнее: если $A$ — точка касания, $B$ — вторая точка хорды, $t$ — касательная в точке $A$ , то угол между $t$ и хордой $A B$ равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу $A B$ с другой стороны. Это свойство активно используется при доказательстве подобия треугольников в задачах с касательной.

Следствие. Угол между касательной и хордой из точки касания равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу (с противоположной стороны хорды). Именно это равенство углов использовалось при доказательстве теоремы о касательной и секущей.

Ключевые формулы

O A ⊥ t

Признак касательной: радиус перпендикулярен касательной в точке касания

M A = M B

Равенство отрезков касательных из одной внешней точки

M A^{2} = M C \cdot M D

Касательная и секущая из внешней точки (степень точки)

M C \cdot M D = M E \cdot M F

Две секущие (или хорды через внутреннюю точку) — произведения равны

Запомни

Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания — это и признак, и следствие одновременно.
Из внешней точки можно провести ровно две касательные, и их отрезки всегда равны.
Степень точки: $M A^{2} = M C \cdot M D$ — квадрат касательной равен произведению отрезков любой секущей из той же точки.
Для хорд, пересекающихся внутри окружности: произведения отрезков хорд равны: $M C \cdot M D = M E \cdot M F$ .
Угол между касательной и хордой из точки касания равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Из точки

M

проведены две касательные к окружности с центром

O

и радиусом

r = 5

. Расстояние от центра до точки

M

равно

O M = 13

. Найдите длину отрезка касательной

M A

Подсказка: Всегда строй прямоугольный треугольник

O A M

: катеты

O A = r

M A

, гипотенуза

O M

По признаку касательной $∠ O A M = 9 0^{\circ}$ , поэтому треугольник $O A M$ прямоугольный с прямым углом при $A$ .
По теореме Пифагора: $M A^{2} = O M^{2} - O A^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ .
$M A = 144 = 12$ .

Ответ:

M A = 12

Пример 2

Из внешней точки

M

проведена касательная

M A

(точка касания

A

) и секущая, пересекающая окружность в точках

C

D

. Известно, что

M A = 6

M C = 3

. Найдите

C D

По теореме о касательной и секущей: $M A^{2} = M C \cdot M D$ .
$6^{2} = 3 \cdot M D$ , то есть $36 = 3 \cdot M D$ .
$M D = 36 \div 3 = 12$ .
Длина хорды $C D = M D - M C = 12 - 3 = 9$ .

Ответ:

C D = 9

Пример 3

Внутри окружности выбрана точка

M

. Через

M

проведены две хорды:

C D

E F

. Известно, что

M C = 4

M D = 9

M E = 6

. Найдите

M F

Подсказка: Точка пересечения хорд лежит внутри окружности — применяй формулу для внутренней точки, а не для внешней.

Для двух хорд, пересекающихся внутри окружности, выполняется: $M C \cdot M D = M E \cdot M F$ .
$4 \cdot 9 = 6 \cdot M F$ , то есть $36 = 6 \cdot M F$ .
$M F = 36 \div 6 = 6$ .

Ответ:

M F = 6

Пример 4

Из внешней точки

M

проведены две секущие. Первая пересекает окружность в точках

A

B

, причём

M A = 4

A B = 8

. Вторая пересекает окружность в точках

C

D

, причём

M C = 3

. Найдите

M D

C D

Находим $M B$ : $M B = M A + A B = 4 + 8 = 12$ .
По теореме о двух секущих: $M A \cdot M B = M C \cdot M D$ .
$4 \cdot 12 = 3 \cdot M D$ , то есть $48 = 3 \cdot M D$ .
$M D = 48 \div 3 = 16$ .
$C D = M D - M C = 16 - 3 = 13$ .

Ответ:

M D = 16

C D = 13

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают «отрезок касательной» (от внешней точки до точки касания) с полной касательной прямой — в формулах используется именно отрезок $M A$ , а не вся прямая.
В формуле $M A^{2} = M C \cdot M D$ забывают, что $M C$ — внешняя (меньшая) часть секущей, а $M D$ — расстояние до дальней точки пересечения, т.е. $M D = M C + C D$ .
При работе с хордами внутри окружности пытаются применить формулу $M A^{2} = M C \cdot M D$ , хотя она верна только для внешней точки; для внутренней точки нужна $M C \cdot M D = M E \cdot M F$ .
Считают, что угол между касательной и хордой всегда равен $9 0^{\circ}$ — это верно только если хорда является диаметром.