9 класс Геометрия 8 мин чтения

Синус, косинус и тангенс суммы и разности углов

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Формулы синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов позволяют вычислять тригонометрические значения составных углов через значения исходных.

Представьте: вы знаете $sin 3 0^{\circ}$ и $cos 4 5^{\circ}$ , но вам нужен $sin 7 5^{\circ}$ . Складывать углы в аргументе «напрямую» нельзя — для этого и существуют формулы сложения, которые используются в физике, черчении и компьютерной графике.

точка на единичной окружности: (cos α; sin α)

Содержание 9

Что такое формулы сложения и зачем они нужны

Тригонометрические функции не линейны: $sin (α + β) \neq = sin α + sin β$ . Это легко проверить: $sin (3 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = sin 9 0^{\circ} = 1$ , а $sin 3 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ} = 0, 5 + \frac{3}{2} \approx 1, 37 \neq = 1$ .

Формулы сложения дают точные равенства, связывающие тригонометрические функции суммы $α + β$ или разности $α - β$ с функциями каждого из углов $α$ и $β$ по отдельности. Углы $α$ и $β$ — произвольные, ограничений на их значения нет.

Формулы синуса суммы и разности

Синус суммы: $sin (α + β) = sin α \cdot cos β + cos α \cdot sin β$

Синус разности: $sin (α - β) = sin α \cdot cos β - cos α \cdot sin β$

Заметьте: в обоих случаях формула содержит два слагаемых. Каждое слагаемое — произведение синуса одного угла на косинус другого. Знак между слагаемыми совпадает со знаком в аргументе: сумма — плюс, разность — минус.

Мнемоника: «синус суммы — перекрёстное произведение». Каждый угол участвует один раз через синус и один раз через косинус.

Формулы косинуса суммы и разности

Косинус суммы: $cos (α + β) = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β$

Косинус разности: $cos (α - β) = cos α \cdot cos β + sin α \cdot sin β$

Важное отличие от формул синуса: здесь оба слагаемых — произведения одноимённых функций (косинус на косинус, синус на синус). При этом знак меняется на противоположный: косинус суммы — минус, косинус разности — плюс.

Мнемоника: «у косинуса знак наоборот». Если в аргументе стоит « $+$ », между слагаемыми будет « $-$ », и наоборот.

Формула тангенса суммы и разности

Тангенс суммы: $tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α \cdot tan β}$ , при условии $tan α \cdot tan β \neq = 1$ .

Тангенс разности: $tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α \cdot tan β}$ , при условии $tan α \cdot tan β \neq = - 1$ .

Оба выражения получаются делением формулы синуса на формулу косинуса: $tan (α \pm β) = \frac{sin ( α \pm β )}{cos ( α \pm β )}$ .

Условие существования: знаменатель не должен обращаться в нуль. Знак в числителе и знак в знаменателе всегда противоположны: в числителе стоит « $+$ » — в знаменателе « $-$ », и наоборот.

Как получить формулы — идея доказательства

Рассмотрим единичную окружность. Пусть точка $A$ лежит на ней под углом $α$ , а точка $B$ — под углом $β$ . Используем формулу расстояния между двумя точками на окружности и связь расстояния с углом между радиусами через теорему косинусов.

Шаг 1. Координаты точек: $A = (cos α, sin α)$ , $B = (cos β, sin β)$ .

Шаг 2. Квадрат расстояния $∣ A B ∣^{2} = (cos α - cos β)^{2} + (sin α - sin β)^{2}$ .

Раскрывая скобки и используя основное тождество $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , получаем $∣ A B ∣^{2} = 2 - 2 (cos α cos β + sin α sin β)$ .

Шаг 3. По теореме косинусов для треугольника $O A B$ (где $O$ — центр): $∣ A B ∣^{2} = 2 - 2 cos (α - β)$ .

Шаг 4. Приравниваем: $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$ . Остальные формулы выводятся из этой заменой $β$ на $- β$ и делением синуса на косинус.

Ключевые формулы

sin (α + β) = sin α \cdot cos β + cos α \cdot sin β

Синус суммы двух углов

sin (α - β) = sin α \cdot cos β - cos α \cdot sin β

Синус разности двух углов

cos (α + β) = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β

Косинус суммы двух углов

cos (α - β) = cos α \cdot cos β + sin α \cdot sin β

Косинус разности двух углов

Запомни

У синуса знак между слагаемыми совпадает со знаком в аргументе: $sin (α + β)$ — плюс, $sin (α - β)$ — минус.
У косинуса знак противоположен знаку в аргументе: $cos (α + β)$ — минус, $cos (α - β)$ — плюс.
В формуле синуса — перекрёстные произведения (синус·косинус), в формуле косинуса — одноимённые (косинус·косинус минус синус·синус).
Формулу тангенса можно вывести из формул синуса и косинуса делением одной на другую.
Проверяй допустимость: формула тангенса не работает, если знаменатель равен нулю.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычислите

sin 7 5^{\circ}

точно, не используя таблицы и калькулятор.

Подсказка: Разбей угол на сумму двух табличных углов так, чтобы их сумма давала нужный угол.

Представим $7 5^{\circ}$ как сумму удобных углов: $7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ .
Применяем формулу синуса суммы: $sin (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} \cdot sin 3 0^{\circ}$ .
Подставляем табличные значения: $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Вычисляем: $\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4} = \frac{6 + 2}{4}$ .

Ответ:

sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

Пример 2

Найдите

cos 1 5^{\circ}

точно.

Подсказка: У косинуса разности знак плюс — не перепутай с формулой суммы.

Запишем $1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ и применим формулу косинуса разности: $cos (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ} + sin 4 5^{\circ} \cdot sin 3 0^{\circ}$ .
Подставляем: $\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$ .
Итог: $cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ .
Замечание: $sin 7 5^{\circ} = cos 1 5^{\circ}$ , что и ожидалось, так как $7 5^{\circ} + 1 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

Ответ:

cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

Пример 3

Дан прямоугольный треугольник

A B C

с прямым углом

C

. Известно:

A C = 3

B C = 4

. Из вершины

B

проведена точка

D

на прямую

A C

так, что

B D ⊥ A C

(то есть

D

совпадает с

C

). На прямой

A C

отложена точка

E

A E = 1

. Найдите

sin (∠ A B E + ∠ C B E)

, если

∠ C B E = ∠ C B E

— угол между

B E

B C

Находим гипотенузу: $A B = A C^{2} + B C^{2} = 9 + 16 = 5$ .
Обозначим $∠ B A C = α$ и $∠ A B С = γ$ . Тогда $∠ A B E = ∠ A B C - ∠ E B C$ . Удобнее: $∠ A B E + ∠ E B C = ∠ A B C$ , значит $sin (∠ A B E + ∠ E B C) = sin (∠ A B C)$ .
Из треугольника $A B C$ : $sin (∠ A B C) = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{5}$ .
Проверка через формулу: $sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$ — результат совпадёт, поскольку сумма двух частей угла равна целому углу $∠ A B C$ .

Ответ:

sin (∠ A B E + ∠ E B C) = \frac{3}{5}

Пример 4

Упростите выражение

sin (x + 6 0^{\circ}) + sin (x - 6 0^{\circ})

Раскроем первое слагаемое по формуле синуса суммы: $sin (x + 6 0^{\circ}) = sin x \cdot cos 6 0^{\circ} + cos x \cdot sin 6 0^{\circ}$ .
Раскроем второе слагаемое по формуле синуса разности: $sin (x - 6 0^{\circ}) = sin x \cdot cos 6 0^{\circ} - cos x \cdot sin 6 0^{\circ}$ .
Складываем: $(sin x \cdot cos 6 0^{\circ} + cos x \cdot sin 6 0^{\circ}) + (sin x \cdot cos 6 0^{\circ} - cos x \cdot sin 6 0^{\circ})$ .
Слагаемые с $cos x$ взаимно уничтожаются, остаётся $2 sin x \cdot cos 6 0^{\circ} = 2 sin x \cdot \frac{1}{2} = sin x$ .

Ответ:

sin (x + 6 0^{\circ}) + sin (x - 6 0^{\circ}) = sin x

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают знаки у косинуса: пишут $cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β$ (должен быть минус).
В формуле синуса переставляют сомножители неверно: пишут $sin α \cdot sin β + cos α \cdot cos β$ вместо перекрёстных произведений.
Считают, что $sin (α + β) = sin α + sin β$ — это грубейшая ошибка, тригонометрические функции не линейны.
Забывают условие допустимости при использовании формулы тангенса (знаменатель не должен быть равен нулю).