9 класс Геометрия 9 мин чтения

Применение координат и векторов к решению геометрических задач

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Координатный метод и векторная алгебра — мощные инструменты, которые превращают геометрические задачи в алгебраические вычисления.

Проверь себя · 1 из 3

Окружность задана уравнением

x^{2} + (y + 4)^{2} = 4

. Найдите координаты её центра.

Представь, что тебе нужно доказать, что диагонали параллелограмма пересекаются в середине, или найти расстояние между двумя точками на плоскости. Вместо того чтобы рисовать вспомогательные прямые и искать подходящие признаки, можно расставить точки по координатам и посчитать — это и есть координатно-векторный метод.

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Содержание 9

Прямоугольная система координат и координаты точки

Две взаимно перпендикулярные прямые с общим началом образуют прямоугольную (декартову) систему координат. Горизонтальная прямая — ось $O x$ (абсцисс), вертикальная — ось $O y$ (ординат). Точка их пересечения — начало координат $O (0, 0)$ .

Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел $(x, y)$ , где $x$ — абсцисса (горизонтальное отклонение от $O$ ), $y$ — ордината (вертикальное отклонение). Запись: $A (x_{A}, y_{A})$ .

Расстояние между двумя точками $A (x_{1}, y_{1})$ и $B (x_{2}, y_{2})$ : $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Эта формула — прямое следствие теоремы Пифагора: прямоугольный треугольник с катетами $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ и $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ имеет гипотенузу $A B$ .

Середина отрезка $A B$ : точка $M$ с координатами $x_{M} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y_{M} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}$

Вектор: определение и координаты

Вектор $A B$ — направленный отрезок из точки $A$ (начало) в точку $B$ (конец). Он задаётся двумя характеристиками: длиной (модулем) и направлением. Нулевой вектор $0$ имеет нулевую длину и неопределённое направление.

Координаты вектора $A B$ по координатам точек $A (x_{1}, y_{1})$ и $B (x_{2}, y_{2})$ : $A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$

Почему «конец минус начало»? Потому что координаты вектора — это смещение: насколько нужно сдвинуться по $x$ и по $y$ , чтобы из $A$ попасть в $B$ .

Модуль (длина) вектора $a = (a_{x}, a_{y})$ : $∣ a ∣ = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}$

Равенство векторов: $a = b$ тогда и только тогда, когда $a_{x} = b_{x}$ и $a_{y} = b_{y}$ .

Операции с векторами в координатах:

Сумма: $(a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y})$
Разность: $(a_{x} - b_{x}, a_{y} - b_{y})$
Умножение на число $k$ : $(k a_{x}, k a_{y})$

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов $a$ и $b$ — это число: $a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ$ где $φ$ — угол между векторами ( $0^{\circ} \leq φ \leq 18 0^{\circ}$ ).

В координатах то же произведение вычисляется проще: $a \cdot b = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$

Оба определения дают одно и то же число — это можно проверить через теорему косинусов.

Практические следствия:

Угол между векторами:

$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$

Условие перпендикулярности: $a ⊥ b$ тогда и только тогда, когда $a \cdot b = 0$ , то есть $a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} = 0$ .

Условие коллинеарности (параллельности): $a ∥ b$ тогда и только тогда, когда $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} = 0$ (векторное произведение равно нулю).

Скалярное произведение — главный инструмент для нахождения углов и проверки перпендикулярности через координаты.

Координатный метод решения задач: стратегия

Координатный метод — это не просто «расставить точки». Это последовательный алгоритм:

Удобно выбрать систему координат (часто начало координат совмещают с вершиной, а ось — со стороной фигуры).
Записать координаты всех ключевых точек.
Перевести геометрическое условие в алгебраическое (расстояние, угол, параллельность...).
Решить алгебраическую задачу.
Интерпретировать ответ геометрически.

Типовые переводы условий:

длина отрезка $A B$ равна $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ ;
точка $M$ середина отрезка $A B$ : $x_{M} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ , $y_{M} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}$ ;
прямые $A B$ и $C D$ перпендикулярны: $A B \cdot C D = 0$ .

Выбор удобных координат. Для прямоугольника $A B C D$ со стороной $a$ удобно: $A (0, 0)$ , $B (a, 0)$ . Для равнобедренного треугольника с основанием $2 a$ — основание на оси $O x$ симметрично относительно $O y$ : $A (- a, 0)$ , $C (a, 0)$ . Такой выбор резко упрощает вычисления.

Уравнение прямой на плоскости

Общее уравнение прямой: $A x + B y + C = 0$ , где $A$ и $B$ не равны нулю одновременно.

Уравнение прямой через две точки $A (x_{1}, y_{1})$ и $B (x_{2}, y_{2})$ : $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ (применяется, когда $x_{1} \neq = x_{2}$ и $y_{1} \neq = y_{2}$ ; если прямая вертикальная — $x = x_{1}$ , горизонтальная — $y = y_{1}$ ).

Уравнение с угловым коэффициентом: $y = k x + b$ , где $k = tan α$ , $α$ — угол наклона к оси $O x$ .

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны: $k_{1} = k_{2}$ .

Две прямые перпендикулярны, если $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ .

Расстояние от точки $M (x_{0}, y_{0})$ до прямой $A x + B y + C = 0$ : $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$

Эта формула позволяет найти высоту треугольника, не строя перпендикуляр.

Ключевые формулы

A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Расстояние между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂)

x_{M} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y_{M} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}

Координаты середины отрезка AB

a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}

Скалярное произведение в координатах

cos φ = \frac{a _{x} b _{x} + a _{y} b _{y}}{a _{x}^{2} + a _{y}^{2} \cdot b _{x}^{2} + b _{y}^{2}}

Косинус угла между векторами

Запомни

Координаты вектора — «конец минус начало»: $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .
Перпендикулярность через скалярное произведение: $a ⊥ b \Leftrightarrow a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} = 0$ .
Формула расстояния между точками — это теорема Пифагора в координатах.
Середина отрезка — среднее арифметическое координат крайних точек.
Выбирай систему координат так, чтобы как можно больше координат обратились в нули или в одно и то же число — это сокращает вычисления.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Даны точки

A (1, 2)

B (4, 6)

. Найди длину отрезка

A B

и координаты его середины

M

Находим длину отрезка по формуле расстояния: $A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .
Находим координаты середины: $x_{M} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2, 5$ , $y_{M} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ .

Ответ:

A B = 5

;

M (2, 5; 4)

Пример 2

Даны точки

A (0, 0)

B (4, 0)

C (4, 3)

. Проверь, является ли угол

A B C

прямым.

Подсказка: Всегда строй векторы из той вершины, угол при которой нужно исследовать: оба вектора идут ИЗ этой вершины.

Находим векторы, выходящие из вершины $B$ : $B A = (0 - 4, 0 - 0) = (- 4, 0)$ , $B C = (4 - 4, 3 - 0) = (0, 3)$ .
Вычисляем скалярное произведение: $B A \cdot B C = (- 4) \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 0$ .
Скалярное произведение равно нулю, значит $B A ⊥ B C$ .

Ответ: Угол

A B C

является прямым.

Пример 3

В параллелограмме

A B C D

вершины:

A (0, 0)

B (4, 0)

C (5, 3)

. Найди вершину

D

и докажи, что диагонали

A C

B D

пересекаются в одной точке — середине каждой из них.

Подсказка: Свойство параллелограмма:

A B = D C

(а не

C D

!). Проверяй направление векторов.

В параллелограмме $A B = D C$ . Находим $A B = (4, 0)$ . Тогда $D = C - A B = (5 - 4, 3 - 0) = (1, 3)$ .
Середина диагонали $A C$ : $x = \frac{0 + 5}{2} = 2, 5$ , $y = \frac{0 + 3}{2} = 1, 5$ . Точка $P_{1} (2, 5; 1, 5)$ .
Середина диагонали $B D$ : $x = \frac{4 + 1}{2} = 2, 5$ , $y = \frac{0 + 3}{2} = 1, 5$ . Точка $P_{2} (2, 5; 1, 5)$ .
Координаты совпадают: $P_{1} = P_{2}$ . Значит, диагонали пересекаются в точке $(2, 5; 1, 5)$ , которая является серединой каждой из них.

Ответ:

D (1, 3)

; диагонали пересекаются в точке

(2, 5; 1, 5)

Пример 4

Даны точки

A (1, 1)

B (5, 1)

C (3, 5)

. Найди угол при вершине

A

в треугольнике

A B C

(в градусах, округли до целых).

Строим векторы из вершины $A$ : $A B = (5 - 1, 1 - 1) = (4, 0)$ , $A C = (3 - 1, 5 - 1) = (2, 4)$ .
Вычисляем скалярное произведение: $A B \cdot A C = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 4 = 8$ .
Находим модули: $∣ A B ∣ = 16 + 0 = 4$ , $∣ A C ∣ = 4 + 16 = 20 = 25$ .
Вычисляем косинус угла: $cos ∠ A = \frac{8}{4 \cdot 2 5} = \frac{8}{8 5} = \frac{1}{5} \approx 0, 447$ .
Находим угол: $∠ A = arccos (0, 447) \approx 6 3^{\circ}$ .

Ответ:

∠ A \approx 6 3^{\circ}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают порядок вычитания координат вектора: пишут $(x_{A} - x_{B}, y_{A} - y_{B})$ вместо $(x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})$ . Запомни: всегда «конец минус начало».
Забывают взять модуль числителя в формуле расстояния от точки до прямой: пишут $A x_{0} + B y_{0} + C$ без вертикальных черт, получая отрицательное расстояние.
При нахождении угла между прямыми путают угол между направляющими векторами и угол между прямыми: угол между прямыми всегда острый или прямой ( $0^{\circ} \leq φ \leq 9 0^{\circ}$ ), поэтому берут $∣ cos φ ∣$ .
Неудобный выбор системы координат: начинают с произвольного расположения фигуры и получают громоздкие дроби. Всегда ищи «красивое» положение фигуры относительно осей.