9 класс Геометрия 11 мин чтения

Теорема косинусов

Q: Как найти сторону по теореме косинусов?

Нужны две стороны и угол между ними. Стороны 5 и 8, угол 60°: c² = 25 + 64 - 40 = 49, значит, c = 7.

Q: Как теорема косинусов связана с теоремой Пифагора?

Если угол прямой, cos 90° = 0, и формула превращается в c² = a² + b². Поэтому теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними. Она помогает найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними или угол по трём сторонам.

Проверь себя · 1 из 3

Какое равенство верно для треугольника

M N P

Теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике. А если угол между сторонами $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$ ? Тогда нужна теорема косинусов. Её называют обобщённой теоремой Пифагора. На ОГЭ теорема косинусов встречается в задачах № 15 и 16 и в геометрии второй части. Разберём формулу, доказательство и типовые задачи.

c² = a² + b² − 2ab·cos C

Как найти третью сторону

Проверь, что угол лежит между известными сторонами.
Подставь стороны и косинус угла в формулу. У тупого угла косинус с минусом.
Посчитай квадрат стороны.
Извлеки корень.

Пример. Стороны $5$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ : $c^{2} = 25 + 64 - 40 = 49$ , $c = 7$ .

Как найти угол по трём сторонам

Найди сторону напротив нужного угла.
Из суммы квадратов двух других сторон вычти её квадрат.
Раздели на удвоенное произведение двух других сторон.
По косинусу найди угол. Если косинус отрицательный, угол тупой.

Пример. Стороны $3$ , $5$ , $7$ : косинус угла напротив $7$ равен $- \frac{1}{2}$ , угол $12 0^{\circ}$ .

Содержание 14

Формулировка теоремы косинусов

Обозначим стороны треугольника $A B C$ так: $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ . Угол $γ$ стоит при вершине $C$ , напротив стороны $c$ .

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Так же записывают формулы для двух других сторон:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β$

Как не перепутать: слева сторона, справа косинус угла напротив неё.

Доказательство

Докажем формулу для стороны $a$ через координаты.

Поставим вершину $A$ в начало координат, сторону $A B$ направим по оси $O x$ . Тогда $B (c; 0)$ .
Точка $C$ лежит на расстоянии $b$ от начала под углом $α$ , поэтому $C (b cos α; b sin α)$ .
Квадрат расстояния между $B$ и $C$ равен $a^{2}$ .

Запишем его по формуле расстояния:

$a^{2} = (b cos α - c)^{2} + b^{2} sin^{2} α$

Раскроем скобки:

$a^{2} = b^{2} cos^{2} α + b^{2} sin^{2} α - 2 b c cos α + c^{2}$

Сумма $sin^{2} α + cos^{2} α$ равна единице, поэтому первые два слагаемых дают $b^{2}$ :

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α$

Теорема Пифагора как частный случай

Если угол прямой, его косинус равен нулю. Последнее слагаемое исчезает, и остаётся теорема Пифагора:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Для углов $6 0^{\circ}$ и $12 0^{\circ}$ формула становится проще.

Угол $6 0^{\circ}$ , косинус $\frac{1}{2}$ :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$

Угол $12 0^{\circ}$ , косинус $- \frac{1}{2}$ :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab$

У тупого угла косинус отрицательный, поэтому сторона напротив него длиннее, чем при прямом угле.

Как найти угол по трём сторонам

Выразим косинус из теоремы:

$cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$

Здесь $c$ сторона напротив угла, $a$ и $b$ стороны, которые образуют угол.

Пример. Стороны $3$ , $5$ и $7$ . Найдём угол напротив стороны $7$ :

$cos γ = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = - \frac{1}{2}$

Косинус $- \frac{1}{2}$ у угла $12 0^{\circ}$ .

Остроугольный, прямоугольный или тупоугольный

Против большей стороны лежит больший угол. Поэтому вид треугольника решает угол напротив наибольшей стороны $c$ .

Сравни	Треугольник
$c^{2} < a^{2} + b^{2}$	остроугольный
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$	прямоугольный
$c^{2} > a^{2} + b^{2}$	тупоугольный

Пример. Стороны $5$ , $7$ и $9$ :

$9^{2} = 81, 5^{2} + 7^{2} = 74$

$81 > 74$ , треугольник тупоугольный.

Диагонали параллелограмма

Если применить теорему косинусов к двум треугольникам, на которые параллелограмм делят диагонали, получится полезное свойство.

Свойство. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

Оно помогает найти медиану треугольника: если медиану продлить на её длину, получится параллелограмм.

Когда брать теорему косинусов

Теорема косинусов нужна, если известны:

две стороны и угол между ними, а найти надо третью сторону;
три стороны, а найти надо угол.

Если известны сторона и угол напротив неё, удобнее теорема синусов.

Ключевые формулы

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Теорема косинусов

cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

Косинус угла по трём сторонам

c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab

Угол

6 0^{\circ}

c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab

Угол

12 0^{\circ}

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

Диагонали параллелограмма

Запомни

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ .
Слева сторона, справа косинус угла напротив неё.
При прямом угле получается теорема Пифагора.
У тупого угла косинус отрицательный, минус меняется на плюс.
Вид треугольника решает угол напротив наибольшей стороны.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

В треугольнике

A B C

известно:

A B = 5

см,

B C = 8

см,

∠ B = 6 0^{\circ}

. Найдите

A C

Угол $B$ лежит между сторонами $5$ и $8$ . При угле $6 0^{\circ}$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$ .
$A C^{2} = 25 + 64 - 40 = 49$ .
$A C = 7$ см.

Ответ:

7

см

Пример 2

В треугольнике

A B C

известно:

A B = 3

A C = 22

∠ A = 13 5^{\circ}

. Найдите

B C

$cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ .
Косинус отрицательный, поэтому слагаемое с ним прибавляется.
$2 \cdot 3 \cdot 22 \cdot \frac{2}{2} = 12$ .
$B C^{2} = 9 + 8 + 12 = 29$ .
$B C = 29$ .

Ответ:

29

Пример 3

Стороны треугольника

12

20

28

. Найдите наибольший угол.

Наибольший угол лежит напротив стороны $28$ .
$cos γ = \frac{144 + 400 - 784}{2 \cdot 12 \cdot 20} = - \frac{1}{2}$ .
Это угол $12 0^{\circ}$ .

Ответ:

12 0^{\circ}

Пример 4

Определите вид треугольника со сторонами

5

7

9

Наибольшая сторона $9$ : $9^{2} = 81$ .
Две другие: $5^{2} + 7^{2} = 74$ .
$81 > 74$ , угол напротив стороны $9$ тупой.

Ответ: тупоугольный

Пример 5

Стороны треугольника

4

5

6

. Найдите косинус наименьшего угла.

Наименьший угол лежит напротив стороны $4$ .
$cos α = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{45}{60}$ .
$cos α = 0, 75$ .

Ответ:

0, 75

Пример 6

В треугольнике

A B C

сторона

A B

на

4

больше

B C

∠ B = 12 0^{\circ}

A C = 14

. Найдите

A B

B C

Пусть $B C = x$ , тогда $A B = x + 4$ .
При угле $12 0^{\circ}$ : $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} + A B \cdot B C$ .
$196 = (x + 4)^{2} + x^{2} + x (x + 4)$ .
После упрощения: $x^{2} + 4 x - 60 = 0$ .
Корни $6$ и $- 10$ . Длина положительная, значит, $B C = 6$ , $A B = 10$ .

Ответ:

A B = 10

B C = 6

Пример 7

Стороны параллелограмма

7

11

, одна диагональ

12

. Найдите другую диагональ.

$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (49 + 121) = 340$ .
$d_{2}^{2} = 340 - 144 = 196$ .
$d_{2} = 14$ .

Ответ:

14

Пример 8

Стороны треугольника

23

30

, медиана к стороне

30

равна

10

. Найдите третью сторону.

Продлим медиану на её длину. Получится параллелограмм со сторонами $23$ и $x$ и диагоналями $20$ и $30$ .
По свойству диагоналей: $400 + 900 = 2 (x^{2} + 529)$ .
$x^{2} + 529 = 650$ , $x^{2} = 121$ .
$x = 11$ .

Ответ:

11

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Берут не тот угол. Нужен угол между двумя известными сторонами.
Теряют минус у косинуса тупого угла. При $12 0^{\circ}$ получается $+ ab$ .
Забывают извлечь корень: формула даёт $c^{2}$ , а не $c$ .
Умножают на косинус всю скобку. На косинус умножается только $2 ab$ .
Сравнивают квадрат не самой большой стороны.

Частые вопросы

Как звучит теорема косинусов?

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Как найти сторону по теореме косинусов?

Нужны две стороны и угол между ними. Стороны

5

8

, угол

6 0^{\circ}

c^{2} = 25 + 64 - 40 = 49

, значит,

c = 7

Как найти угол по теореме косинусов?

Сложи квадраты двух сторон угла, вычти квадрат третьей стороны и раздели на удвоенное произведение сторон угла. Получится косинус. Для сторон

3

5

7

косинус угла напротив

7

равен

- \frac{1}{2}

, угол

12 0^{\circ}

Когда применять теорему косинусов, а когда теорему синусов?

Теорема косинусов нужна, когда известны две стороны и угол между ними или три стороны. Теорема синусов нужна, когда известны сторона и угол напротив неё.

Как теорема косинусов связана с теоремой Пифагора?

Если угол прямой,

cos 9 0^{\circ} = 0

, и формула превращается в

c^{2} = a^{2} + b^{2}

. Поэтому теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора.