9 класс Геометрия 8 мин чтения

Скалярное произведение векторов

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Скалярное произведение двух векторов — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними; оно позволяет находить углы между прямыми и вычислять длины через координаты.

Проверь себя · 1 из 3

Диагонали квадрата

A B C D

пересекаются в точке

O

. Найдите угол между векторами

A B

D C

Представь, что тебе нужно узнать, под каким углом сходятся два направления на карте, или посчитать работу силы при движении тела — в обоих случаях на помощь приходит скалярное произведение векторов. Это один из главных инструментов геометрии и физики, который соединяет направление и длину в одном числе.

a · b = |a| · |b| · cos α

Содержание 9

Угол между векторами

Прежде чем вводить скалярное произведение, нужно договориться, что называть углом между двумя векторами.

Если даны векторы $a$ и $b$ , совместим их начала в одной точке. Угол $φ$ , который образуют эти векторы, удовлетворяет условию $0^{\circ} \leq φ \leq 18 0^{\circ}$ .

Частные случаи:

Если $φ = 0^{\circ}$ , векторы сонаправлены (смотрят в одну сторону).
Если $φ = 18 0^{\circ}$ , векторы противоположно направлены.
Если $φ = 9 0^{\circ}$ , векторы перпендикулярны.

Угол всегда берётся наименьший из двух возможных (не больше $18 0^{\circ}$ ). Заметь: угол между вектором и нулевым вектором не определён — нулевой вектор не имеет направления.

Определение скалярного произведения

Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов

a

b

называется число

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ,$

где $φ$ — угол между этими векторами.

Если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение равно нулю по определению.

Что означает знак результата?

$a \cdot b > 0$ , если $φ < 9 0^{\circ}$ (угол острый).
$a \cdot b = 0$ , если $φ = 9 0^{\circ}$ (векторы перпендикулярны).
$a \cdot b < 0$ , если $φ > 9 0^{\circ}$ (угол тупой).

Почему «скалярное»? Потому что результат — обычное число (скаляр), а не вектор.

Скалярное произведение в координатах

В системе координат с ортонормированным базисом (то есть когда базисные векторы единичны и перпендикулярны) вычисление скалярного произведения особенно удобно.

Пусть $a = (a_{x}; a_{y})$ и $b = (b_{x}; b_{y})$ . Тогда: $a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} .$

Для пространственных векторов $a = (a_{x}; a_{y}; a_{z})$ и $b = (b_{x}; b_{y}; b_{z})$ : $a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z} .$

Эта формула выводится из определения с помощью теоремы косинусов, но главное — запомнить правило: перемножаем одноимённые координаты и складываем.

Связь с длиной вектора. Если $a \cdot a = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}$ , то $∣ a ∣ = a \cdot a$ .

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение подчиняется следующим свойствам (они выводятся из определения).

1. Коммутативность: $a \cdot b = b \cdot a$ .
Порядок множителей не важен — угол между $a$ и $b$ равен углу между $b$ и $a$ .

2. Дистрибутивность: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ . Можно «раскрывать скобки» так же, как в обычной алгебре.

3. Сочетательность с числом: $(λ a) \cdot b = λ (a \cdot b)$ , где $λ$ — любое действительное число.

4. Скалярный квадрат: $a \cdot a = ∣ a ∣^{2} \geq 0$ , и равен нулю только при $a = 0$ .

Критерий перпендикулярности. Ненулевые векторы $a$ и $b$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a \cdot b = 0$ .

Нахождение угла по координатам

Из определения скалярного произведения можно выразить косинус угла между векторами: $cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} .$

Зная координаты векторов, подставляем: $cos φ = \frac{a _{x} b _{x} + a _{y} b _{y}}{a _{x}^{2} + a _{y}^{2} \cdot b _{x}^{2} + b _{y}^{2}} .$

Далее по таблице значений косинуса (или калькулятором) находим сам угол $φ$ .

Типичные «красивые» значения:

$cos φ = 1 \Rightarrow φ = 0^{\circ}$
$cos φ = \frac{2}{2} \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}$
$cos φ = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 6 0^{\circ}$
$cos φ = 0 \Rightarrow φ = 9 0^{\circ}$
$cos φ = - \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 12 0^{\circ}$

Ключевые формулы

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ

Скалярное произведение через длины и угол

a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}

Скалярное произведение через координаты (плоскость)

cos φ = \frac{a _{x} b _{x} + a _{y} b _{y}}{a _{x}^{2} + a _{y}^{2} \cdot b _{x}^{2} + b _{y}^{2}}

Косинус угла между векторами через координаты

∣ a ∣ = a \cdot a = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}

Длина вектора через скалярный квадрат

Запомни

Скалярное произведение — это число, а не вектор.
Перпендикулярные ненулевые векторы дают скалярное произведение, равное нулю: $a \cdot b = 0$ .
Угол между векторами всегда от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ включительно.
В координатах: умножаем одноимённые координаты и складываем результаты.
Чтобы найти угол — считаем скалярное произведение и делим на произведение длин: получаем $cos φ$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Даны векторы

a

b

∣ a ∣ = 5

∣ b ∣ = 4

, угол между ними

φ = 6 0^{\circ}

. Найти

a \cdot b

Записываем формулу: $a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ$ .
Подставляем данные: $a \cdot b = 5 \cdot 4 \cdot cos 6 0^{\circ}$ .
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , поэтому $a \cdot b = 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 10$ .

Ответ:

a \cdot b = 10

Пример 2

Дан прямоугольник

A B C D

, в котором

A B = 3

B C = 4

. Найти скалярное произведение

A B \cdot A D

Определяем угол между векторами $A B$ и $A D$ . В прямоугольнике $∠ D A B = 9 0^{\circ}$ , значит $φ = 9 0^{\circ}$ .
Вычисляем: $A B \cdot A D = ∣ A B ∣ \cdot ∣ A D ∣ \cdot cos 9 0^{\circ} = 3 \cdot 4 \cdot 0 = 0$ .

Ответ:

A B \cdot A D = 0

Пример 3

Дан треугольник

A B C

. Координаты вершин:

A (1; 2)

B (4; 6)

C (7; 2)

. Найти угол

∠ A B C

Подсказка: Угол при вершине

B

— это угол между векторами

B A

B C

, исходящими из

B

Составляем векторы из вершины $B$ : $B A = A - B = (1 - 4; 2 - 6) = (- 3; - 4)$ и $B C = C - B = (7 - 4; 2 - 6) = (3; - 4)$ .
Скалярное произведение: $B A \cdot B C = (- 3) \cdot 3 + (- 4) \cdot (- 4) = - 9 + 16 = 7$ .
Длины: $∣ B A ∣ = (- 3)^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ , $∣ B C ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 25 = 5$ .
$cos ∠ A B C = \frac{7}{5 \cdot 5} = \frac{7}{25} = 0, 28$ .
Угол: $∠ A B C = arccos (0, 28) \approx 73, 7^{\circ}$ .

Ответ:

∠ A B C \approx 73, 7^{\circ}

Пример 4

Дан квадрат

A B C D

со стороной

a

. Найти скалярное произведение

A C \cdot B D

Выразим диагонали через стороны. Введём вектор $A B = p$ , $A D = q$ , тогда $∣ p ∣ = ∣ q ∣ = a$ и $p \cdot q = 0$ (стороны квадрата перпендикулярны).
$A C = A B + B C = p + q$ (так как $B C = A D = q$ ).
$B D = B A + A D = - p + q$ .
$(p + q) \cdot (- p + q) = - p \cdot p + p \cdot q - q \cdot p + q \cdot q = - a^{2} + 0 - 0 + a^{2} = 0$ .

Ответ:

A C \cdot B D = 0

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают скалярное произведение с покоординатным умножением «вектор на вектор» — результат должен быть числом, а не вектором.
Берут угол больше $18 0^{\circ}$ : угол между векторами всегда $0^{\circ} \leq φ \leq 18 0^{\circ}$ , а не произвольный.
При вычислении $cos φ$ забывают поставить в знаменатель произведение длин (а не сумму и не разность).
Считают, что если скалярное произведение отрицательное — значит ошиблись. На самом деле отрицательное значение просто означает тупой угол между векторами.