Вписанная и описанная окружности четырёхугольника

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис всех четырёх углов четырёхугольника. Такую точку называют инцентром.

Основное условие (теорема). Окружность можно вписать в четырёхугольник тогда и только тогда, когда сумма противоположных сторон равна: $AB+CD=BC+AD$ Это условие называют свойством описанного четырёхугольника (то есть четырёхугольника, описанного вокруг окружности).

Почему это так? Если окружность касается стороны $AB$ в точке $P$, стороны $BC$ в точке $Q$, стороны $CD$ в точке $R$, стороны $DA$ в точке $S$, то по свойству касательных из одной внешней точки:

• Из вершины $A$: $AP=AS$
• Из вершины $B$: $BP=BQ$
• Из вершины $C$: $CQ=CR$
• Из вершины $D$: $DR=DS$

Сложим: $(AP+BP)+(CR+DR)=(AS+DS)+(BQ+CQ)$, то есть $AB+CD=AD+BC$.

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров ко всем четырём сторонам. Такую точку называют центром описанной окружности.

Основное условие (теорема). Окружность можно описать около четырёхугольника тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$: $\angle A+\angle C=180^{\circ }\text{и}\angle B+\angle D=180^{\circ }$ Четырёхугольник, удовлетворяющий этому условию, называется вписанным.

Почему это так? Четыре точки лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда каждая четвёрка образует «вписанный» четырёхугольник. Угол вписанного четырёхугольника и противоположный ему вместе опираются на полную окружность ($360^{\circ }$), каждый из них — вписанный угол, опирающийся на дугу, дополнительную к дуге другого. Отсюда их сумма равна половине $360^{\circ }$, то есть $180^{\circ }$.

Не каждый четырёхугольник имеет вписанную или описанную окружность. Разберём, что гарантировано.

Всегда можно описать окружность (вписанный четырёхугольник):

• Прямоугольник ( $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ }$, сумма противоположных $=180^{\circ }$)
• Равнобедренная трапеция (основания параллельны, боковые стороны равны)
• Квадрат

Всегда можно вписать окружность (описанный четырёхугольник):

• Ромб ($AB=BC=CD=DA$, значит $AB+CD=BC+DA$)
• Квадрат
• Правильные многоугольники

Квадрат — единственный четырёхугольник, для которого выполнены оба условия одновременно: в него можно и вписать окружность, и описать вокруг него окружность.

Радиус вписанной окружности. Если в четырёхугольник вписана окружность радиуса $r$, а площадь четырёхугольника равна $S$, полупериметр равен $p=\frac{a+b+c+d}{2}$, то: $S=p\cdot r$ Отсюда $r=\frac{S}{p}$.

Эта формула аналогична формуле для треугольника: площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Радиус описанной окружности прямоугольника. Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ диагональ $d=\sqrt{a^2+b^2}$, и описанная окружность имеет диаметр, равный диагонали: $R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Радиус описанной окружности квадрата со стороной $a$: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Радиус вписанной окружности квадрата со стороной $a$: $r=\frac{a}{2}$