8 класс Алгебра 9 мин чтения

Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Квадратное уравнение — это уравнение вида

a x^{2} + b x + c = 0

, и умение его решать открывает путь к задачам о движении, площадях и многому другому.

Проверь себя · 1 из 3

x^{2} + 16 = 0

. Сколько действительных корней?

Квадратные уравнения появляются везде, где переменная входит в формулу в квадрате: при расчёте площади участка, траектории мяча или времени пути. Научившись их решать, ты сможешь справляться с целым классом реальных задач.

Содержание 8

Что такое квадратное уравнение

Квадратным уравнением называется уравнение, которое после преобразований приводится к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a \neq = 0$ , $b$ и $c$ — любые действительные числа.

Здесь:

$a$ — старший коэффициент (коэффициент при $x^{2}$ ), обязательно $a \neq = 0$ ;
$b$ — коэффициент при $x$ ;
$c$ — свободный член.

Запись $a x^{2} + b x + c = 0$ называется стандартной формой квадратного уравнения.

Почему $a \neq = 0$ ? Если бы $a = 0$ , то старший член $a x^{2}$ обратился бы в нуль и уравнение стало бы линейным — $b x + c = 0$ . Это уже другой вид уравнений.

Примеры квадратных уравнений:

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ (здесь $a = 2$ , $b = - 5$ , $c = 3$ );
$x^{2} - 4 = 0$ (здесь $a = 1$ , $b = 0$ , $c = - 4$ );
$3 x^{2} + 7 x = 0$ (здесь $a = 3$ , $b = 7$ , $c = 0$ ).

Квадратное уравнение называется полным, если все три коэффициента $a$ , $b$ , $c$ отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю, уравнение называется неполным.

Неполные квадратные уравнения и способы их решения

Неполные квадратные уравнения делятся на три типа в зависимости от того, какой коэффициент равен нулю.

Тип 1: $c = 0$ , уравнение вида $a x^{2} + b x = 0$

Выносим $x$ за скобку: $x (a x + b) = 0$ .
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Получаем два корня:
$x_{1} = 0$ или $a x + b = 0$ , откуда $x_{2} = - \frac{b}{a}$ .

Пример. $3 x^{2} - 12 x = 0$ . Выносим: $3 x (x - 4) = 0$ . Отсюда $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$ .

---

Тип 2: $b = 0$ , уравнение вида $a x^{2} + c = 0$

Выражаем $x^{2}$ : $a x^{2} = - c$ , то есть $x^{2} = - \frac{c}{a}$ .

Если $- \frac{c}{a} > 0$ , уравнение имеет два корня: $x = \pm - \frac{c}{a}$ .
Если $- \frac{c}{a} = 0$ , единственный корень: $x = 0$ .
Если $- \frac{c}{a} < 0$ , корней нет (квадрат числа не может быть отрицательным).

Пример. $5 x^{2} - 20 = 0$ . Получаем $x^{2} = 4$ . Отсюда $x = \pm 2$ .

---

Тип 3: $b = 0$ и $c = 0$ , уравнение вида $a x^{2} = 0$

Единственный корень: $x = 0$ , так как $x^{2} = 0$ только при $x = 0$ .

Дискриминант и формула корней полного квадратного уравнения

Для полного квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ используется универсальный метод — формула дискриминанта.

Дискриминант — это выражение $D = b^{2} - 4 a c$ . Его значение определяет, сколько корней имеет уравнение.

Значение $D$	Количество корней
$D > 0$	Два различных корня
$D = 0$	Один корень (кратный)
$D < 0$	Корней нет

Если $D \geq 0$ , корни находятся по формуле:
$x = \frac{- b \pm D}{2 a}$

Расшифруем: знак « $\pm$ » означает, что нужно рассмотреть два случая — сложить и вычесть $D$ . Если $D = 0$ , то $D = 0$ и оба случая дают одинаковое значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Почему именно такая формула? Она получается методом выделения полного квадрата из трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ . Это стандартное преобразование, которое работает для любых $a$ , $b$ , $c$ при $a \neq = 0$ .

Теорема Виета

Для полного квадратного уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ (приведённого, то есть $a = 1$ ) существует удобный способ проверки корней — теорема Виета.

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ , то:

$x_{1} + x_{2} = - p$
$x_{1} \cdot x_{2} = q$

Пример проверки. Уравнение $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , корни $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .
Проверим: $2 + 3 = 5 = - (- 5)$ — верно. $2 \cdot 3 = 6$ — верно.

Теорему Виета удобно использовать, чтобы быстро подобрать корни приведённого уравнения: ищем два числа, сумма которых равна $- p$ , а произведение равно $q$ .

Важно: теорема Виета напрямую применяется только к приведённому уравнению (

a = 1

). Для неприведённого уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

формулы принимают вид

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Ключевые формулы

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

Стандартная форма квадратного уравнения

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант — вычисляй первым делом

x = \frac{- b \pm D}{2 a}

Формула корней при

D \geq 0

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q

Теорема Виета для приведённого уравнения

x^{2} + p x + q = 0

Запомни

Квадратным называется уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a \neq = 0$ — это обязательное условие.
Неполное квадратное уравнение решается без дискриминанта: вынесением за скобку или извлечением квадратного корня.
Если $D < 0$ , уравнение не имеет корней в области действительных чисел — это нормальный результат, не ошибка.
Дискриминант $D = 0$ означает один корень (два совпадающих): $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Теорема Виета — удобный инструмент проверки: сумма корней и их произведение должны совпасть с коэффициентами.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Реши неполное квадратное уравнение:

4 x^{2} - 36 = 0

Переносим свободный член: $4 x^{2} = 36$ .
Делим на 4: $x^{2} = 9$ .
Извлекаем квадратный корень: $x = \pm 9 = \pm 3$ .

Ответ:

x_{1} = 3

x_{2} = - 3

Пример 2

Реши неполное квадратное уравнение:

5 x^{2} - 15 x = 0

Подсказка: Никогда не сокращай

x

из обеих частей — иначе потеряешь корень

x = 0

Выносим $x$ за скобку: $x (5 x - 15) = 0$ .
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Первый случай: $x = 0$ .
Второй случай: $5 x - 15 = 0$ , откуда $5 x = 15$ , то есть $x = 3$ .

Ответ:

x_{1} = 0

x_{2} = 3

Пример 3

Реши полное квадратное уравнение:

x^{2} - 7 x + 12 = 0

Подсказка: Когда коэффициенты простые, попробуй сначала подобрать корни по теореме Виета: ищи два числа с суммой 7 и произведением 12.

Находим дискриминант: $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$ .
Так как $D = 1 > 0$ , уравнение имеет два корня.
Вычисляем: $x_{1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4$ .
Вычисляем: $x_{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3$ .
Проверка по теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = 4 + 3 = 7$ и $- p = - (- 7) = 7$ — совпадает. $x_{1} \cdot x_{2} = 4 \cdot 3 = 12 = q$ — совпадает.

Ответ:

x_{1} = 4

x_{2} = 3

Пример 4

Реши полное квадратное уравнение:

2 x^{2} + 3 x - 5 = 0

Подсказка: Следи за знаком

c = - 5

: при вычислении

D

получаем

- 4 a c = - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = + 40

, а не

- 40

Определяем коэффициенты: $a = 2$ , $b = 3$ , $c = - 5$ .
Находим дискриминант: $D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$ .
Так как $D = 49 > 0$ , два корня.
Вычисляем: $x_{1} = \frac{- 3 + 49}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$ .
Вычисляем: $x_{2} = \frac{- 3 - 7}{4} = \frac{- 10}{4} = - \frac{5}{2}$ .
Проверка: $2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$ — верно.

Ответ:

x_{1} = 1

x_{2} = - \frac{5}{2}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

При решении уравнения $a x^{2} + b x = 0$ делят обе части на $x$ — и теряют корень $x_{1} = 0$ . Правильно: выносить $x$ за скобку.
Путают знак при подстановке в формулу: $b = - 5$ , но пишут $- b = - 5$ вместо $- b = 5$ . Следи за знаками $b$ и $- b$ .
При $D = 0$ записывают два одинаковых корня как «два решения» — формально корень один (кратный двум), и это важно понимать.
Для уравнения $a x^{2} + c = 0$ проверяют знак не у $- \frac{c}{a}$ , а у $c$ , и делают неверный вывод о числе корней.