8 класс Алгебра 8 мин чтения

Дискриминант. Формула корней квадратного уравнения

Q: Какая формула дискриминанта?

Для уравнения ax² + bx + c = 0: D = b² - 4ac. Корни находят по формуле x_(1,2) = (-b ± √D)/(2a).

Q: Что такое D₁ (дискриминант, делённый на 4)?

Упрощение для чётного b = 2b₁: D₁ = b₁² - ac, а корни x_(1,2) = (-b₁ ± √D₁)/a. Числа получаются меньше, считать проще.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме Калькулятор квадратных уравнений

Коротко: Дискриминант — специальное выражение, которое позволяет определить количество корней квадратного уравнения и найти их по формуле.

Проверь себя · 1 из 3

Дискриминант

D = - 9

. Каков его знак?

Квадратные уравнения встречаются везде: при расчёте траектории мяча, в задачах на площадь, в физике и экономике. Формула дискриминанта — универсальный инструмент, который работает для любого квадратного уравнения без исключений.

Содержание 10

Квадратное уравнение: основные понятия

Квадратным уравнением называют уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a \neq = 0$ .

Числа $a$ , $b$ , $c$ называются коэффициентами:

$a$ — коэффициент при $x^{2}$ (старший коэффициент),
$b$ — коэффициент при $x$ ,
$c$ — свободный член.

Условие $a \neq = 0$ принципиально: если $a = 0$ , уравнение становится линейным, а не квадратным.

Примеры квадратных уравнений:

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ (здесь $a = 2$ , $b = - 5$ , $c = 3$ ),
$x^{2} - 4 = 0$ (здесь $a = 1$ , $b = 0$ , $c = - 4$ ),
$3 x^{2} + x = 0$ (здесь $a = 3$ , $b = 1$ , $c = 0$ ).

Прежде чем применять формулу, уравнение необходимо привести к стандартному виду: перенести все члены в левую часть и расположить их по убыванию степени.

Дискриминант: определение и смысл

Дискриминантом квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ называют выражение $D = b^{2} - 4 a c .$

Дискриминант «различает» (от лат. discrimino — разделяю) случаи по числу корней:

Знак $D$	Сколько корней
$D > 0$	два различных корня
$D = 0$	один корень (два совпавших)
$D < 0$	действительных корней нет

Почему именно $b^{2} - 4 a c$ ? Это выражение возникает при выводе формулы корней методом выделения полного квадрата. Если $D < 0$ , под корнем оказывается отрицательное число, и вычислить его в действительных числах невозможно — поэтому корней нет.

Формула корней квадратного уравнения

Если $D \geq 0$ , то корни квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ вычисляются по формуле: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .$

Знак $\pm$ означает, что вычисляются два значения:

$x_{1} = \frac{- b + D}{2 a}$ ,
$x_{2} = \frac{- b - D}{2 a}$ .

Когда $D = 0$ , оба выражения дают одно и то же число: $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} .$

Порядок решения квадратного уравнения:

Привести уравнение к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Выписать коэффициенты $a$ , $b$ , $c$ .
Вычислить дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c$ .
Если $D < 0$ — корней нет. Если $D \geq 0$ — вычислить корни по формуле.
Записать ответ.

Вывод формулы (метод выделения полного квадрата)

Понимать, откуда берётся формула, важно — это помогает её не перепутать.

Начнём с уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a \neq = 0$ . Разделим обе части на $a$ : $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0.$

Перенесём свободный член вправо: $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} .$

Добавим к обеим частям $(\frac{b}{2 a})^{2}$ , чтобы получить полный квадрат слева: $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a} .$

Левая часть — полный квадрат, правую приводим к общему знаменателю: $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}} .$

Заметим, что числитель правой части — это и есть дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ : $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{D}{4 a ^{2}} .$

При $D \geq 0$ извлекаем корень из обеих частей: $x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{D}{2 a} .$

Отсюда получаем итоговую формулу: $x = \frac{- b \pm D}{2 a} .$

Частные случаи и упрощения

Неполные квадратные уравнения можно решать как по формуле, так и более простыми способами.

Случай $b = 0$ : уравнение вида $a x^{2} + c = 0$ .
Формула корней принимает вид $x_{1, 2} = \pm - \frac{c}{a}$ (при $- \frac{c}{a} \geq 0$ ).

Случай $c = 0$ : уравнение вида $a x^{2} + b x = 0$ .
Выносим $x$ за скобку: $x (a x + b) = 0$ , откуда $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - \frac{b}{a}$ .

Формула для чётного $b$ : если коэффициент $b$ чётный, то удобно ввести $b_{1} = \frac{b}{2}$ и вычислять сокращённый дискриминант $D_{1} = (b_{1})^{2} - a c$ . Тогда корни: $x_{1, 2} = \frac{- b _{1} \pm D _{1}}{a} .$ Это уменьшает объём вычислений — числа меньше.

Ключевые формулы

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Формула корней (при D ≥ 0)

x = \frac{- b}{2 a}

Единственный корень (при D = 0)

D_{1} = (b_{1})^{2} - a c

Сокращённый дискриминант (при чётном b, где b' = b/2)

Запомни

Дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ : при $D > 0$ — два корня, при $D = 0$ — один, при $D < 0$ — корней нет.
Формула корней $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$ применяется только при $D \geq 0$ .
Перед применением формулы уравнение должно быть в стандартном виде: $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Коэффициент $b$ входит в формулу с противоположным знаком: $- b$ , а не $b$ .
Если $c = 0$ , выгоднее вынести $x$ за скобку, а не использовать формулу.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решите уравнение

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Подсказка: Знак

b = - 5

отрицательный, поэтому

- b = 5

. Не перепутай!

Коэффициенты: $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ .
Дискриминант: $D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ .
Так как $D = 1 > 0$ , уравнение имеет два корня.
$x_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ .
$x_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ .

Ответ:

x_{1} = 3

x_{2} = 2

Пример 2

Решите уравнение

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Коэффициенты: $a = 4$ , $b = - 4$ , $c = 1$ .
Дискриминант: $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$ .
Так как $D = 0$ , уравнение имеет один корень.
$x = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .

Ответ:

x = \frac{1}{2}

Пример 3

Решите уравнение

3 x^{2} + 2 x + 5 = 0

Коэффициенты: $a = 3$ , $b = 2$ , $c = 5$ .
Дискриминант: $D = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = - 56$ .
Так как $D = - 56 < 0$ , уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет

Пример 4

Решите уравнение

2 x^{2} - 3 = 5 x

, предварительно приведя к стандартному виду.

Подсказка: Обрати внимание:

- 4 a c = - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = + 24

— два минуса дают плюс. Это частая ошибка.

Переносим $5 x$ влево: $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ .
Коэффициенты: $a = 2$ , $b = - 5$ , $c = - 3$ .
Дискриминант: $D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49$ .
Так как $D = 49 > 0$ , два корня.
$x_{1} = \frac{5 + 49}{4} = \frac{5 + 7}{4} = 3$ .
$x_{2} = \frac{5 - 49}{4} = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}$ .

Ответ:

x_{1} = 3

x_{2} = - \frac{1}{2}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Ошибка в знаке $b$ : пишут $+ b$ вместо $- b$ в числителе формулы корней. Запомни: в формуле стоит $- b$ .
Вычисляют $D = b^{2} - 4 a c$ , но забывают про знак $a$ или $c$ , если они отрицательные. Особенно опасно: $- 4 \cdot a \cdot c$ , когда $c < 0$ — получается плюс, а не минус.
Делят на $a$ вместо $2 a$ : пишут $x = \frac{- b \pm D}{a}$ — это неверно, в знаменателе всегда $2 a$ .
Не приводят уравнение к стандартному виду перед выписыванием коэффициентов — в итоге $a$ , $b$ , $c$ определяются неверно.

Частые вопросы

Какая формула дискриминанта?

Для уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

D = b^{2} - 4 a c

. Корни находят по формуле

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Что такое D₁ (дискриминант, делённый на 4)?

Упрощение для чётного

b = 2 b_{1}

D_{1} = b_{1}^{2} - a c

, а корни

x_{1, 2} = \frac{- b _{1} \pm D _{1}}{a}

. Числа получаются меньше, считать проще.