8 класс Алгебра 8 мин чтения

Теорема Виета

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами через два простых соотношения — сумму и произведение.

Проверь себя · 1 из 3

Для

x^{2} + p x + q = 0

с двумя корнями выбери верное.

Представь, что тебе нужно найти два числа, зная только их сумму и произведение. Именно это умеет теорема Виета: она позволяет либо быстро проверить корни, либо вовсе найти их без громоздкой дискриминантной формулы.

Содержание 9

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение в общем виде: $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a \neq = 0$ .

Если разделить обе части на $a$ , получим приведённое квадратное уравнение:

$x^{2} + p x + q = 0$ , где $p = \frac{b}{a}$ , $q = \frac{c}{a}$ .

Теорема Виета формулируется именно для приведённого уравнения — это удобнее и нагляднее.

Теорема Виета: формулировка

Теорема Виета. Если

x_{1}

x_{2}

— корни приведённого квадратного уравнения

x^{2} + p x + q = 0

, то:

$x_{1} + x_{2} = - p$ и $x_{1} \cdot x_{2} = q$ .

Другими словами, сумма корней равна коэффициенту при $x$ , взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример. Для уравнения $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ имеем $p = - 5$ , $q = 6$ . По теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = 5$ и $x_{1} \cdot x_{2} = 6$ .

Доказательство теоремы

Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ . По формуле дискриминанта:

$x_{1} = \frac{- p + D}{2}$ , $x_{2} = \frac{- p - D}{2}$ , где $D = p^{2} - 4 q$ .

Сумма корней:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- p + D}{2} + \frac{- p - D}{2} = \frac{- 2 p}{2} = - p$ .

Произведение корней:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{( - p + D ) ( - p - D )}{4} = \frac{p ^{2} - D}{4} = \frac{p ^{2} - ( p ^{2} - 4 q )}{4} = \frac{4 q}{4} = q$ .

Оба соотношения доказаны.

Обратная теорема Виета

Обратная теорема Виета. Если два числа

x_{1}

x_{2}

удовлетворяют условиям

x_{1} + x_{2} = - p

x_{1} \cdot x_{2} = q

, то они являются корнями уравнения

x^{2} + p x + q = 0

Это позволяет составлять уравнение по его корням. Если известны корни $x_{1}$ и $x_{2}$ , то уравнение записывается как:

$x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ .

Пример. Корни $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 7$ . Тогда $x_{1} + x_{2} = - 4$ , $x_{1} \cdot x_{2} = - 21$ . Уравнение: $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ .

Применение теоремы Виета для решения уравнений

Теорема Виета особенно удобна, когда корни уравнения — целые числа. Алгоритм:

Привести уравнение к виду $x^{2} + p x + q = 0$ .
Определить $- p$ (нужная сумма) и $q$ (нужное произведение).
Подобрать два числа с такой суммой и таким произведением.
Проверить подстановкой.

Метод подбора произведения. Выписать все пары множителей числа $q$ (с учётом знаков) и выбрать ту, у которой сумма равна $- p$ .

Уравнение	$x_{1} + x_{2}$ и $x_{1} x_{2}$	Корни
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$	$5$ и $6$	$2$ и $3$
$x^{2} + x - 12 = 0$	$- 1$ и $- 12$	$3$ и $- 4$
$x^{2} - 7 x + 12 = 0$	$7$ и $12$	$3$ и $4$

Ключевые формулы

x_{1} + x_{2} = - p

Сумма корней приведённого уравнения

x_{1} \cdot x_{2} = q

Произведение корней приведённого уравнения

x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} \cdot x_{2} = 0

Составить уравнение по его корням

x_{1}

x_{2}

p = \frac{b}{a}, q = \frac{c}{a}

Связь коэффициентов:

p

q

для уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

Запомни

Теорема Виета применяется к приведённому уравнению $x^{2} + p x + q = 0$ (старший коэффициент равен 1).
Сумма корней равна $- p$ — знак меняется! Если уравнение $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , то $p = - 5$ , значит сумма равна $5$ .
Произведение корней равно $q$ — знак не меняется.
Обратная теорема позволяет составить уравнение по двум числам: $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = 0$ .
Если $D < 0$ , уравнение не имеет корней, и теорема Виета не применяется.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

x^{2} - 7 x + 10 = 0

Уравнение приведённое: коэффициент при $x^{2}$ равен 1. Здесь $p = - 7$ , $q = 10$ .
По теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = - p = - (- 7) = 7$ .
$x_{1} \cdot x_{2} = q = 10$ .

Ответ:

x_{1} + x_{2} = 7

x_{1} \cdot x_{2} = 10

Пример 2

Решите уравнение

x^{2} - 5 x + 6 = 0

с помощью теоремы Виета.

Подсказка: Выписывай пары множителей

q

с учётом знаков и проверяй их сумму.

Уравнение приведённое. По теореме Виета ищем два числа: сумма равна $5$ , произведение равно $6$ .
Перебираем пары с произведением 6: $(1; 6)$ , $(2; 3)$ , $(- 1; - 6)$ , $(- 2; - 3)$ .
Пара $(2; 3)$ : сумма $2 + 3 = 5$ — подходит.
Проверка: $2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ — верно. $3^{2} - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ — верно.

Ответ:

x_{1} = 2

x_{2} = 3

Пример 3

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны

x_{1} = - 3

x_{2} = 5

Подсказка: Перед суммой корней в уравнении стоит знак минус:

x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + \dots

Находим сумму корней: $x_{1} + x_{2} = - 3 + 5 = 2$ .
Находим произведение корней: $x_{1} \cdot x_{2} = (- 3) \cdot 5 = - 15$ .
По обратной теореме Виета уравнение: $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ .
Подставляем: $x^{2} - 2 x + (- 15) = 0$ , то есть $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ .
Проверка: $(- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$ — верно. $5^{2} - 2 \cdot 5 - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$ — верно.

Ответ:

x^{2} - 2 x - 15 = 0

Пример 4

Решите уравнение

3 x^{2} + 9 x - 30 = 0

с помощью теоремы Виета.

Подсказка: Сначала приведи уравнение (раздели на старший коэффициент), и только потом применяй теорему Виета.

Уравнение не приведённое. Делим обе части на 3: $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ .
Теперь $p = 3$ , $q = - 10$ . Ищем два числа: сумма равна $- 3$ , произведение равно $- 10$ .
Произведение отрицательное, значит числа разных знаков. Пары: $(- 1; 10)$ , $(1; - 10)$ , $(- 2; 5)$ , $(2; - 5)$ .
Пара $(2; - 5)$ : сумма $2 + (- 5) = - 3$ — подходит.
Проверка для $x = 2$ : $4 + 6 - 10 = 0$ — верно. Для $x = - 5$ : $25 - 15 - 10 = 0$ — верно.

Ответ:

x_{1} = 2

x_{2} = - 5

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают знак суммы: пишут $x_{1} + x_{2} = p$ вместо $x_{1} + x_{2} = - p$ . В уравнении $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ коэффициент $p = - 5$ , поэтому сумма корней равна $5$ , а не $- 5$ .
Применяют теорему к неприведённому уравнению напрямую. Уравнение $2 x^{2} - 10 x + 12 = 0$ нужно сначала разделить на 2, получив $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , и лишь затем применять теорему.
Забывают проверить дискриминант. Если $D < 0$ , корней нет и теорема Виета не работает — нельзя «подобрать» числа.
При составлении уравнения по корням ошибаются в знаке перед суммой: пишут $x^{2} + (x_{1} + x_{2}) x$ вместо $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x$ .