Освобождение от иррациональности в знаменателе

Иррациональное число — число, которое нельзя записать в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа. Примеры: $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt[3]{3}$.

Дробь вида $\frac{3}{\sqrt{2}}$ математически верна, но считается незавершённой формой: знаменатель содержит знак корня. Стандартная форма записи требует, чтобы знаменатель был рациональным.

Зачем это нужно:

• Удобнее приближённо вычислять: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ легче оценить числом, чем $\frac{3}{\sqrt{2}}$.
• Проще складывать и сравнивать дроби с одинаковым рациональным знаменателем.
• Это стандарт оформления в ЕГЭ и контрольных работах.

Ключевой инструмент — умножить числитель и знаменатель на одно и то же выражение (чтобы не изменить значение дроби), которое «уничтожает» корень в знаменателе.

Случай 1. Знаменатель — одночлен с корнем: $\sqrt{a}$

Чтобы избавиться от $\sqrt{a}$ в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$. Тогда $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$ — рациональное число.

Пример: $\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2. Знаменатель — двучлен вида $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ или $\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Здесь используют формулу разности квадратов. Сопряжённым для $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ является $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, и наоборот.

Произведение сопряжённых: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$ — рациональное (если $a$ и $b$ рациональны).

Пример: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$.

Всё сводится к одному алгебраическому тождеству:

$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$

Если $A=\sqrt{a}$ и $B=\sqrt{b}$, то:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a}{)}^2-(\sqrt{b}{)}^2=a-b$

При $a\ne b$ результат $a-b\ne 0$ — это обычное число без корней. Именно поэтому умножение на сопряжённое работает.

Если в знаменателе два корня, например $\sqrt{7}-\sqrt{3}$, умножения на один корень мало: $\sqrt{7}$ уберёт первый корень, а второй останется. Умножай числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: те же два корня, но с противоположным знаком между ними.

Пример 1. Разность корней в знаменателе:

$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

Пример 2. Корень есть и в числителе. Раскрываем скобки и упрощаем $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}=\frac{\sqrt{12}-2}{4}=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Пример 3. Перед корнем стоит число. В квадрат возводим всё слагаемое: $(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$.

$\frac{1}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(2\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{12-5}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{7}$

Как проверить себя. После умножения в знаменателе всегда получается квадрат первого слагаемого минус квадрат второго. Если там остался корень, множитель выбран неверно.

Знаменатель вида $a+\sqrt{b}$ (рациональное плюс корень)

Сопряжённым является $a-\sqrt{b}$. Произведение: $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b$.

Пример: $\frac{3}{2+\sqrt{5}}=\frac{3(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\frac{3(2-\sqrt{5})}{4-5}=\frac{3(2-\sqrt{5})}{-1}=-3(2-\sqrt{5})=-6+3\sqrt{5}$.

Если перед корнем стоит коэффициент

Знаменатель $3\sqrt{5}$: умножай на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$, а не на $\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$ (хотя оба варианта верны, первый проще). Получишь $3\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=3\cdot 5=15$.

Упрощение после освобождения

После умножения обязательно проверяй, нельзя ли сократить числитель и знаменатель на общий множитель. Например: $\frac{6\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.