8 класс Алгебра 12 мин чтения

Квадратный трёхчлен и его разложение на множители

Q: Как разложить квадратный трёхчлен на множители?

Найди корни x₁ и x₂ уравнения ax² + bx + c = 0 и запиши a(x - x₁)(x - x₂). Например, x² - 14x - 32 = (x + 2)(x - 16).

Q: Что такое квадратный трёхчлен?

Многочлен вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Например, 2x² - 3x + 5, x² + 7x и x² - 5.

Q: Когда квадратный трёхчлен нельзя разложить на множители?

Когда дискриминант отрицательный: корней нет, значит, нет и линейных множителей. Например, 3x² - 8x + 6, у него D = -8.

Q: Что делать, если старший коэффициент не равен 1?

Не теряй его: 3x² - 7x + 2 = 3(x - 1/3)(x - 2) = (3x - 1)(x - 2).

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Квадратный трёхчлен это многочлен

a x^{2} + b x + c

, где

a \neq = 0

. Если у него есть корни

x_{1}

x_{2}

, его можно разложить на множители:

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

. Если дискриминант отрицательный, разложить нельзя.

Проверь себя · 1 из 3

Какой квадратный трёхчлен имеет корни

7

- 9

Квадратный трёхчлен тебе уже встречался: это левая часть квадратного уравнения. Теперь научимся раскладывать его на множители. Это нужно, чтобы сокращать дроби, решать неравенства и строить параболы. Разберём, что такое квадратный трёхчлен, формулу разложения и типовые задачи.

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Как разложить квадратный трёхчлен на множители

Найди дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ . Если $D < 0$ , разложить нельзя.
Найди корни $x_{1}$ и $x_{2}$ .
Запиши $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Отрицательный корень даёт плюс в скобке: корень $- 2$ даёт $x + 2$ .
Проверь: раскрой скобки.

Пример. $x^{2} - 14 x - 32$ : корни $- 2$ и $16$ , значит, $(x + 2) (x - 16)$ .

Содержание 12

Что такое квадратный трёхчлен

Определение. Квадратный трёхчлен это многочлен вида

a x^{2} + b x + c

, где

a

b

c

числа и

a \neq = 0

Примеры:

$2 x^{2} - 3 x + 5$ ;
$x^{2} + 7 x$ ;
$x^{2} - 5$ ;
$3 x^{2}$ .

Числа $b$ и $c$ могут быть нулями. Главное, чтобы $a$ не был нулём, иначе пропадёт $x^{2}$ .

Корни и дискриминант

Определение. Корень квадратного трёхчлена это значение

x

, при котором трёхчлен равен нулю.

Например, $2$ корень трёхчлена $x^{2} - 6 x + 8$ , потому что $4 - 12 + 8 = 0$ .

Чтобы найти корни, решают уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ . Сколько будет корней, подсказывает дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ :

$D$	Корни
$D > 0$	два
$D = 0$	один
$D < 0$	нет

Сами корни:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$

Формула разложения на множители

Теорема. Если у квадратного трёхчлена есть корни

x_{1}

x_{2}

, его можно разложить на множители:

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Если $D = 0$ , корень один, и получается квадрат:

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1})^{2}$

Если $D < 0$ , корней нет, и разложить трёхчлен на такие множители нельзя.

Доказательство. По теореме Виета:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

Раскроем скобки в правой части:

$a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a (x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2})$

Подставим сумму и произведение корней:

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a x^{2} + b x + c$

Не теряй число a

Чаще всего ошибаются, когда перед $x^{2}$ стоит не единица. Разложим $3 x^{2} - 7 x + 2$ .

Дискриминант: $D = 49 - 24 = 25$ .
Корни: $x_{1} = \frac{1}{3}$ и $x_{2} = 2$ .
Подставляем в формулу и не забываем тройку.

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2)$

Тройку удобно внести в первую скобку, чтобы не было дроби:

$3 x^{2} - 7 x + 2 = (3 x - 1) (x - 2)$

Если перед $x^{2}$ стоит минус, его выносят вперёд:

$- x^{2} + 17 x - 30 = - (x - 2) (x - 15)$

Корни подбором

Если перед $x^{2}$ стоит единица и корни целые, их удобно подобрать по теореме Виета: сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, произведение равно свободному члену.

Пример: $x^{2} - 7 x + 12$ . Нужны два числа с суммой $7$ и произведением $12$ . Это $3$ и $4$ :

$x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4)$

Проверить разложение просто: раскрой скобки.

Зачем раскладывать: сокращение дробей

Разложение помогает сократить дробь. Сократим:

$\frac{6 a ^{2} - a - 1}{9 a ^{2} - 1}$

Корни числителя: $- \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ . Значит, числитель равен $(3 a + 1) (2 a - 1)$ .
Знаменатель по разности квадратов: $(3 a - 1) (3 a + 1)$ .
Сокращаем общий множитель $3 a + 1$ .

$\frac{( 3 a + 1 ) ( 2 a - 1 )}{( 3 a - 1 ) ( 3 a + 1 )} = \frac{2 a - 1}{3 a - 1}$

Ключевые формулы

a x^{2} + b x + c, a \neq = 0

Квадратный трёхчлен

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Корни

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Разложение,

D > 0

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1})^{2}

Разложение,

D = 0

Запомни

Квадратный трёхчлен: $a x^{2} + b x + c$ , где $a \neq = 0$ .
Корни трёхчлена это корни уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Разложение: $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , число $a$ не теряй.
При $D < 0$ разложить нельзя.
Разложение проверяют, раскрыв скобки.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Разложите на множители

x^{2} - 7 x + 12

Ищем числа с суммой $7$ и произведением $12$ : это $3$ и $4$ .
$x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4)$ .

Ответ:

(x - 3) (x - 4)

Пример 2

Разложите на множители

x^{2} - 14 x - 32

$D = 196 + 128 = 324$ , $D = 18$ .
$x_{1} = \frac{14 - 18}{2} = - 2$ .
$x_{2} = \frac{14 + 18}{2} = 16$ .
Ответ: $(x + 2) (x - 16)$ .

Ответ:

(x + 2) (x - 16)

Пример 3

Разложите на множители

- x^{2} + 17 x - 30

Корни уравнения $x^{2} - 17 x + 30 = 0$ : $2$ и $15$ .
Перед $x^{2}$ минус, выносим его вперёд: $- (x - 2) (x - 15)$ .

Ответ:

- (x - 2) (x - 15)

Пример 4

Разложите на множители

3 x^{2} - 7 x + 2

$D = 49 - 24 = 25$ .
$x_{1} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3}$ .
$x_{2} = \frac{7 + 5}{6} = 2$ .
$3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2) = (3 x - 1) (x - 2)$ .

Ответ:

(3 x - 1) (x - 2)

Пример 5

Разложите на множители

4 x^{2} + 28 x + 49

$D = 784 - 784 = 0$ , корень один: $x = - 3, 5$ .
$4 (x + 3, 5)^{2} = (2 x + 7)^{2}$ .

Ответ:

(2 x + 7)^{2}

Пример 6

Можно ли разложить на множители

3 x^{2} - 8 x + 6

$D = 64 - 72 = - 8$ .
Дискриминант отрицательный, корней нет, разложить нельзя.

Ответ: нельзя

Пример 7

Сократите дробь

\frac{6 a ^{2} - a - 1}{9 a ^{2} - 1}

Числитель: корни $- \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ , поэтому он равен $(3 a + 1) (2 a - 1)$ .
Знаменатель: $(3 a - 1) (3 a + 1)$ .
Сокращаем на $3 a + 1$ .

Ответ:

\frac{2 a - 1}{3 a - 1}

Пример 8

При каком

m

разложение трёхчлена

2 x^{2} + 9 x + m

содержит множитель

x + 5

Множитель $x + 5$ значит, что $- 5$ корень трёхчлена.
$2 \cdot 25 - 45 + m = 0$ .
$m = - 5$ .

Ответ:

- 5

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Теряют число $a$ перед скобками. Для $3 x^{2} - 7 x + 2$ нужна тройка.
Путают знак в скобке: корень $- 2$ даёт множитель $x + 2$ .
Пишут $(x + x_{1}) (x + x_{2})$ . Правильно с минусами: $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Раскладывают трёхчлен с отрицательным дискриминантом. У него нет корней.
Забывают минус перед скобками, когда перед $x^{2}$ стоит минус.

Частые вопросы

Как разложить квадратный трёхчлен на множители?

Найди корни

x_{1}

x_{2}

уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

и запиши

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

. Например,

x^{2} - 14 x - 32 = (x + 2) (x - 16)

Что такое квадратный трёхчлен?

Многочлен вида

a x^{2} + b x + c

, где

a \neq = 0

. Например,

2 x^{2} - 3 x + 5

x^{2} + 7 x

x^{2} - 5

Когда квадратный трёхчлен нельзя разложить на множители?

Когда дискриминант отрицательный: корней нет, значит, нет и линейных множителей. Например,

3 x^{2} - 8 x + 6

, у него

D = - 8

Что делать, если старший коэффициент не равен 1?

Не теряй его:

3 x^{2} - 7 x + 2 = 3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2) = (3 x - 1) (x - 2)