Функции и их свойства (чётность, монотонность, экстремумы)

Функция — это правило, по которому каждому допустимому значению переменной $x$ (аргумента) ставится в соответствие ровно одно значение $y$ (значение функции). Пишут $y=f(x)$.

Область определения $D(f)$ — множество всех допустимых значений $x$.
Область значений $E(f)$ — множество всех значений, которые принимает $f(x)$.

График функции — это множество всех точек плоскости вида $(x;f(x))$, где $x\in D(f)$. По графику можно визуально определить все основные свойства функции, о которых пойдёт речь дальше.

Чётная функция — это функция, область определения которой симметрична относительно нуля, и для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x)=f(x)$.

График чётной функции симметричен относительно оси $Oy$.

Примеры чётных функций: $y=x^2$, $y=x^4$, $y=|x|$.

Нечётная функция — это функция, область определения которой симметрична относительно нуля, и для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x)=-f(x)$.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$).

Примеры нечётных функций: $y=x$, $y=x^3$, $y=\frac{1}{x}$.

Как проверить чётность или нечётность:

1. Убедиться, что $D(f)$ симметрична относительно нуля: если $x\in D(f)$, то и $-x\in D(f)$. Если нет — функция не является ни чётной, ни нечётной.
2. Вычислить $f(-x)$ как выражение через $x$.
3. Если $f(-x)=f(x)$ — чётная. Если $f(-x)=-f(x)$ — нечётная. Иначе — функция общего вида.

Функция возрастает на промежутке $I$, если для любых $x_1,x_2\in I$ из условия $x_1<x_2$ следует $f(x_1)<f(x_2)$.

Другими словами: чем правее аргумент на числовой оси, тем выше соответствующая точка графика.

Функция убывает на промежутке $I$, если для любых $x_1,x_2\in I$ из условия $x_1<x_2$ следует $f(x_1)>f(x_2)$.

Чем правее аргумент — тем ниже точка графика.

Функцию называют монотонной на промежутке, если она либо только возрастает, либо только убывает на нём.

Как определить монотонность по графику:

• Двигайся взглядом слева направо по кривой.
• Если кривая идёт вверх — функция возрастает.
• Если кривая идёт вниз — функция убывает.

Пример. Для $y=x^2$: при $x<0$ функция убывает (левая ветвь параболы идёт вниз при движении к нулю справа), при $x>0$ — возрастает.

Точка максимума — точка $x_0$, в которой значение функции больше, чем в любой соседней точке. Иными словами, существует интервал, содержащий $x_0$, такой что для всех $x$ из этого интервала (кроме $x_0$) выполняется $f(x)<f(x_0)$.

Значение $f(x_0)$ называют максимумом функции (точнее — локальным максимумом).

Точка минимума — точка $x_0$, в которой $f(x_0)$ меньше, чем значения в соседних точках: $f(x)>f(x_0)$ для всех $x$ достаточно близких к $x_0$, $x\ne x_0$.

Значение $f(x_0)$ называют минимумом функции (локальным).

Общий термин — экстремум (от лат. extremum — крайнее). Точки максимума и минимума — точки экстремума.

Ключевая связь с монотонностью:

• В точке максимума возрастание сменяется убыванием (график «перегибается» вниз).
• В точке минимума убывание сменяется возрастанием (график «перегибается» вверх).

Локальный и глобальный экстремум:

Локальный максимум не обязан быть глобальным: функция может иметь несколько «горбов», и ни один из них не является наибольшим значением на всей области определения.

Как читать экстремумы с графика:

• Найди «вершины» (горбы) — точки максимума.
• Найди «впадины» (ямки) — точки минимума.
• Запиши $x_0$ (точку экстремума) и $f(x_0)$ (значение экстремума).

При исследовании функции в 9 классе опираются на следующий план:

1. Область определения $D(f)$.
2. Чётность/нечётность: вычислить $f(-x)$ и сделать вывод.
3. Нули функции: решить $f(x)=0$, отметить на оси $Ox$.
4. Знак функции: где $f(x)>0$ и где $f(x)<0$.
5. Монотонность: указать промежутки возрастания и убывания.
6. Экстремумы: назвать точки и значения максимумов и минимумов.
7. Область значений $E(f)$.

Этот план универсален: он применяется к параболе, кубической функции, дробно-рациональным функциям и другим видам.