9 класс Алгебра 8 мин чтения

Системы уравнений второй степени

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Системы уравнений второй степени — это совокупность двух уравнений, хотя бы одно из которых содержит переменную во второй степени, и нужно найти все пары значений, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно.

Проверь себя · 1 из 3

Решаем систему

{x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 25

способом подстановки. Что удобнее всего выразить из первого уравнения?

Такие системы встречаются в задачах о движении, площадях фигур и пересечении графиков — везде, где два условия связывают две неизвестных. Умение их решать открывает путь к большинству прикладных задач алгебры.

Содержание 9

Что такое система уравнений второй степени

Система уравнений — это запись вида ${F (x, y) = 0 G (x, y) = 0$ gde оба уравнения должны выполняться одновременно.

Степень системы определяется наибольшей степенью переменных во всей системе. Если хотя бы одно уравнение содержит $x^{2}$ , $y^{2}$ или $x y$ , система называется системой второй степени.

Типичные виды:

одно уравнение квадратное, другое линейное: ${x^{2} + y^{2} = 25 y = x + 1$
оба уравнения квадратные: ${x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} - y^{2} = 7$

Решение системы — пара $(x_{0}; y_{0})$ , подстановка которой обращает каждое уравнение в верное равенство. Таких пар может быть 0, 1, 2 (и более).

Метод подстановки

Метод подстановки — основной метод для систем «квадратное + линейное».

Алгоритм:

Из линейного уравнения выразить одну переменную через другую.
Подставить полученное выражение в квадратное уравнение — получится одно уравнение с одной неизвестной.
Решить полученное квадратное уравнение.
Найти соответствующие значения второй переменной, подставив корни обратно.
Записать ответ парами.

Почему это работает? Если из второго уравнения $y = f (x)$ , то любое решение системы обязано удовлетворять и первому уравнению с уже подставленным $f (x)$ вместо $y$ . Мы не теряем решений и не добавляем лишних.

Важно: выражать удобнее ту переменную, у которой нет квадрата в линейном уравнении — тогда подстановка сразу даёт стандартное квадратное уравнение.

Метод сложения (вычитания)

Метод сложения удобен, когда оба уравнения квадратные и содержат одинаковые или противоположные слагаемые.

Алгоритм:

Если нужно, умножить одно (или оба) уравнения на подходящий коэффициент так, чтобы при сложении (или вычитании) одно слагаемое сократилось.
Сложить или вычесть уравнения почленно — получить уравнение с одной неизвестной.
Решить его.
Подставить найденные значения в одно из исходных уравнений и найти вторую переменную.

Пример применения: система ${x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} - y^{2} = 7$ — сложим уравнения: $x^{2} + y^{2} + x^{2} - y^{2} = 25 + 7$ , откуда $2 x^{2} = 32$ , то есть $x^{2} = 16$ .

Почему работает? Если обе части равенств верны, их можно складывать — это свойство равенств. Никакие решения при этом не теряются и не появляются.

Геометрический смысл системы

Каждое уравнение с двумя переменными задаёт кривую на координатной плоскости.

Уравнение $y = k x + b$ — прямая.
Уравнение $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ — окружность с центром в начале координат и радиусом $r$ .
Уравнение $y = a x^{2} + b x + c$ — парабола.

Решение системы — это точки пересечения этих кривых.

Число точек пересечения	Число решений системы
0	нет решений
1	одно решение
2	два решения

Например, прямая и окружность могут пересекаться в 0, 1 или 2 точках — поэтому у системы «окружность + прямая» бывает 0, 1 или 2 решения.

Представлять картину графически полезно: это помогает заранее понять, сколько решений ожидать, и проверить себя.

Проверка решения и запись ответа

Проверка обязательна — особенно если в ходе решения возводились в степень или умножались уравнения, что теоретически может вносить посторонние корни.

Как проверить: подставить каждую найденную пару $(x_{0}; y_{0})$ в оба исходных уравнения и убедиться, что получаются верные равенства.

Форма записи ответа: ответ записывают парами в скобках через точку с запятой: $(x_{1}; y_{1})$ и $(x_{2}; y_{2})$ .

Если дискриминант квадратного уравнения, полученного после подстановки, отрицателен ( $D < 0$ ), система не имеет решений на множестве действительных чисел — так и пишем: «нет решений».

Ключевые формулы

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант квадратного уравнения (при подстановке)

x = \frac{- b \pm D}{2 a}

Корни квадратного уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + y^{2} = r^{2}

Уравнение окружности с центром в начале координат

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Уравнение окружности с центром

(a; b)

Запомни

Решение системы — это пара $(x; y)$ , удовлетворяющая обоим уравнениям одновременно.
Из линейного уравнения выражай ту переменную, у которой нет квадрата — подстановка будет проще.
Метод сложения работает, когда в уравнениях есть одинаковые или противоположные слагаемые.
Число решений системы «прямая + окружность» равно числу точек их пересечения: 0, 1 или 2.
После нахождения $x$ подставляй его в то уравнение, из которого легче найти $y$ , и всегда проверяй ответ в обоих уравнениях.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решить систему:

{y = x + 1 x^{2} + y^{2} = 25

Из первого уравнения уже выражено $y = x + 1$ . Подставляем в второе уравнение: $x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$ .
Раскрываем скобки: $x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = 25$ .
Приводим подобные: $2 x^{2} + 2 x + 1 - 25 = 0$ , то есть $2 x^{2} + 2 x - 24 = 0$ .
Делим всё на 2: $x^{2} + x - 12 = 0$ .
Находим дискриминант: $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49$ .
$x_{1} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ , $x_{2} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ .
При $x_{1} = 3$ : $y_{1} = 3 + 1 = 4$ . При $x_{2} = - 4$ : $y_{2} = - 4 + 1 = - 3$ .
Проверка пары $(3; 4)$ : $3 + 1 = 4$ — верно; $9 + 16 = 25$ — верно. Проверка $(- 4; - 3)$ : $- 4 + 1 = - 3$ — верно; $16 + 9 = 25$ — верно.

Ответ:

(3; 4)

(- 4; - 3)

Пример 2

Решить систему:

{x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} - y^{2} = 7

Подсказка: Если слагаемые в уравнениях совпадают, попробуй метод сложения или вычитания — он сразу даёт

x^{2}

или

y^{2}

Складываем оба уравнения почленно: $(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} - y^{2}) = 25 + 7$ .
Упрощаем левую часть: $2 x^{2} = 32$ , откуда $x^{2} = 16$ .
$x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 4$ .
Подставляем $x^{2} = 16$ в первое уравнение: $16 + y^{2} = 25$ , то есть $y^{2} = 9$ .
$y_{1} = 3$ , $y_{2} = - 3$ .
Каждое значение $x$ сочетается с каждым значением $y$ , поэтому получаем 4 пары: $(4; 3)$ , $(4; - 3)$ , $(- 4; 3)$ , $(- 4; - 3)$ .
Проверяем, например, $(4; 3)$ : $16 + 9 = 25$ — верно; $16 - 9 = 7$ — верно.

Ответ:

(4; 3)

(4; - 3)

(- 4; 3)

(- 4; - 3)

Пример 3

Решить систему:

{x y = 6 x + y = 5

Подсказка: Система

{x y = p x + y = s

связана с теоремой Виета:

x

y

— корни уравнения

t^{2} - s t + p = 0

Из второго уравнения выражаем $y = 5 - x$ .
Подставляем в первое: $x (5 - x) = 6$ .
Раскрываем скобки: $5 x - x^{2} = 6$ .
Переносим всё в одну сторону: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .
Находим дискриминант: $D = 25 - 24 = 1$ .
$x_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ , $x_{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ .
При $x_{1} = 3$ : $y_{1} = 5 - 3 = 2$ . При $x_{2} = 2$ : $y_{2} = 5 - 2 = 3$ .
Проверка $(3; 2)$ : $3 \cdot 2 = 6$ — верно; $3 + 2 = 5$ — верно.

Ответ:

(3; 2)

(2; 3)

Пример 4

Решить систему:

{x^{2} + y = 3 x + y^{2} = 3

Подсказка: Если оба уравнения симметричны по виду, попробуй вычесть одно из другого — появится удобный общий множитель.

Вычтем второе уравнение из первого почленно: $(x^{2} + y) - (x + y^{2}) = 3 - 3$ .
Упрощаем: $x^{2} - y^{2} + y - x = 0$ .
Разложим на множители: $(x^{2} - y^{2}) - (x - y) = 0$ , то есть $(x - y) (x + y) - (x - y) = 0$ .
Выносим общий множитель: $(x - y) (x + y - 1) = 0$ .
Случай 1: $x - y = 0$ , то есть $y = x$ . Подставляем в первое уравнение: $x^{2} + x = 3$ , откуда $x^{2} + x - 3 = 0$ .
$D = 1 + 12 = 13$ , тогда $x = \frac{- 1 \pm 13}{2}$ . Получаем пары $(\frac{- 1 + 13}{2}; \frac{- 1 + 13}{2})$ и $(\frac{- 1 - 13}{2}; \frac{- 1 - 13}{2})$ .
Случай 2: $x + y - 1 = 0$ , то есть $y = 1 - x$ . Подставляем: $x^{2} + (1 - x) = 3$ , откуда $x^{2} - x - 2 = 0$ .
$D = 1 + 8 = 9$ ; $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 1$ . При $x = 2$ : $y = - 1$ ; при $x = - 1$ : $y = 2$ .
Итого четыре решения. Проверяем $(2; - 1)$ : $4 + (- 1) = 3$ — верно; $2 + 1 = 3$ — верно.

Ответ:

(2; - 1)

(- 1; 2)

(\frac{- 1 + 13}{2}; \frac{- 1 + 13}{2})

(\frac{- 1 - 13}{2}; \frac{- 1 - 13}{2})

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Находят только значения $x$ , забывая найти соответствующие $y$ — ответ должен быть парой $(x; y)$ , а не одним числом.
При подстановке $y = x + 1$ в $x^{2} + y^{2} = 25$ раскрывают $(x + 1)^{2}$ как $x^{2} + 1$ вместо $x^{2} + 2 x + 1$ .
Проверяют найденную пару только в одном уравнении, а не в обоих — посторонний корень может не подойти ко второму уравнению.
При методе сложения складывают не почленно: прибавляют левую часть одного уравнения к правой части другого.