Касательная к окружности: задания с ответами, 8 класс

0 из 10

Касательная к окружности

…

Примеры заданий с ответами

1Из точки

A

к окружности проведены две касательные

A B

A C

(точки касания

B

C

A B = 12

. Найди

A C

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $A C = A B = 12$ .

Ответ: 12

2Расстояние от центра окружности радиуса

r

до прямой

p

равно

d

. Каково взаимное расположение прямой

p

и окружности, если

r = 17

см,

d = 17

см?

Прямая и окружность имеют две общие точки (прямая является секущей)
Прямая касается окружности (одна общая точка)
Прямая и окружность не имеют общих точек

$d = r$ : $17 = 17$ .
Прямая и окружность имеют две общие точки (прямая является секущей): неверно, так бывает, когда $d < r$ .
Прямая касается окружности (одна общая точка): верно, так бывает, когда $d = r$ .
Прямая и окружность не имеют общих точек: неверно, так бывает, когда $d > r$ .

Ответ: Прямая касается окружности (одна общая точка)

3Две окружности радиусов

26

18

с центрами

O

Q

касаются внутренним образом в точке

T

. Найдите расстояние

O Q

между их центрами.

При касании окружностей точка касания $T$ лежит на прямой $O Q$ .
Центры лежат по одну сторону от $T$ : $O Q = O T - QT = R - r = 26 - 18 = 8$ .

Ответ: 8

4Радиусы двух окружностей с центрами

O

Q

равны

4

4

, расстояние между центрами

O Q = 10

. Прямая

M K

является общей внутренней касательной этих окружностей (

M

K

являются точками касания, окружности лежат по разные стороны от прямой

M K

). Найдите длину отрезка

M K

Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной: $O M ⊥ M K$ , $Q K ⊥ M K$ .
Продолжим $O M$ за точку $M$ и проведём $Q H ∥ M K$ ( $H$ на продолжении $O M$ ). $M H Q K$ является прямоугольником: $M H = Q K = 4$ , $Q H = M K$ .
$O H = O M + M H = 4 + 4 = 8$ .
В прямоугольном треугольнике $O H Q$ : $Q H = O Q^{2} - O H^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 36 = 6$ .
$M K = Q H = 6$ .

Ответ: 6

5Из точки

A

к окружности с центром

O

и радиусом

6

проведены касательные

A B

A C

, угол

B A C

равен

60°

. Найди

A O

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: $∠ A B O = 90°$ .
$A O$ является биссектрисой угла $B A C$ (центр равноудалён от сторон угла), поэтому $∠ B A O = 30°$ .
Катет $O B$ лежит против угла $30°$ : $A O = 2 \cdot O B = 12$ .

Ответ: 12

6В угол

A

, равный

60°

, вписаны две окружности с центрами

O

Q

, касающиеся друг друга внешним образом (окружность с центром

O

меньше и ближе к вершине

A

). Радиус меньшей окружности равен

20

. Найдите расстояние

A Q

от вершины угла до центра большей окружности.

Пусть $K$ и $M$ являются точками касания окружностей со стороной угла. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому $O$ и $Q$ лежат на биссектрисе угла $A$ и $∠ K A O = 60° : 2 = 30°$ .
Радиусы $O K$ и $QM$ , проведённые в точки касания со стороной угла, перпендикулярны ей. В прямоугольном треугольнике $A K O$ катет $O K$ лежит против угла $30°$ , поэтому $A O = 2 \cdot O K = 2 r$ . Аналогично $A Q = 2 R$ .
Окружности касаются внешним образом: $O Q = r + R$ . Так как $A Q = A O + O Q$ , то $2 R = 2 r + r + R$ , откуда $R = 3 r$ .
$R = 3 \cdot 20 = 60$ , $A Q = 2 R = 2 \cdot 60 = 120$ .

Ответ: 120