9 класс Геометрия 13 мин чтения

Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°

Q: Чему равны синус, косинус и тангенс 120°?

Синус 120° равен √3/2, косинус равен -1/2, тангенс равен -√3. Их находят через острый угол 60°.

Q: Чему равны синус, косинус и тангенс 135° и 150°?

У 135°: синус √2/2, косинус -√2/2, тангенс -1. У 150°: синус 1/2, косинус -√3/2, тангенс -√3/3.

Q: Почему косинус тупого угла отрицательный?

Косинус угла равен абсциссе точки единичной полуокружности. Тупому углу соответствует точка слева от оси Oy, её абсцисса отрицательная.

Q: Как найти синус и косинус тупого угла?

Вычти угол из 180° и возьми значения получившегося острого угла. Синус остаётся тем же, а косинус и тангенс меняют знак на минус.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Синус и косинус угла от

0^{\circ}

до

18 0^{\circ}

это координаты точки на единичной полуокружности: косинус равен абсциссе, синус равен ординате. У тупого угла синус положительный, а косинус и тангенс отрицательные. Например,

cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

Проверь себя · 1 из 3

Угол

α

взят от

0°

до

180°

tg α = 0

. Чему равен

cos α

В 8 классе синус и косинус считали в прямоугольном треугольнике. Там углы только острые. Но у треугольника бывает и тупой угол, а теоремы синусов и косинусов работают для любого треугольника. Поэтому в 9 классе синус и косинус определяют для всех углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ . Разберём, как это сделать, почему косинус тупого угла отрицательный и как найти синус, косинус и тангенс $12 0^{\circ}$ , $13 5^{\circ}$ и $15 0^{\circ}$ .

тупой угол: sin α > 0, cos α < 0

Как найти синус, косинус и тангенс тупого угла

Вычти угол из $18 0^{\circ}$ , получится острый угол.
Найди его синус, косинус и тангенс по таблице.
Синус оставь как есть.
Косинус и тангенс запиши со знаком минус.

Пример. $cos 15 0^{\circ}$ равен $- cos 3 0^{\circ}$ , то есть $- \frac{3}{2}$ .

Как найти косинус угла по синусу

Посчитай $1 - sin^{2} α$ .
Извлеки корень.
Если угол острый, оставь плюс. Если тупой, поставь минус.

Пример. $sin α = \frac{3}{5}$ , угол тупой. Корень из $\frac{16}{25}$ равен $\frac{4}{5}$ , значит, $cos α = - \frac{4}{5}$ .

Содержание 15

Единичная полуокружность

Нарисуй координатную плоскость. Построй над осью $O x$ полуокружность радиуса $1$ с центром в начале координат $O$ . Её называют единичной полуокружностью.

Каждому углу $α$ соответствует точка $M$ на этой полуокружности. Угол отсчитывают от положительной полуоси $O x$ против часовой стрелки.

угол $0^{\circ}$ : точка $(1; 0)$ ;
угол $9 0^{\circ}$ : точка $(0; 1)$ ;
угол $18 0^{\circ}$ : точка $(- 1; 0)$ .

Острым углам соответствует правая половина дуги, тупым углам левая.

радиус 1, угол α отсчитывают от луча Ox против часовой стрелки

Что такое синус и косинус любого угла

Возьмём острый угол $α$ и точку $M (x; y)$ . Опустим перпендикуляр $M N$ на ось $O x$ . Получится прямоугольный треугольник $O M N$ с гипотенузой $O M = 1$ .

По определению из 8 класса:

$cos α = \frac{O N}{O M} = x$

$sin α = \frac{M N}{O M} = y$

Косинус совпал с абсциссой точки, синус с ординатой. Это и берут за определение для любого угла.

Определение. Косинус угла

α

равен абсциссе точки

M

единичной полуокружности, а синус равен её ординате:

M (cos α; sin α)

Синус и косинус 0°, 90° и 180°

Значения видно прямо по координатам точек:

Угол	$sin$	$cos$
$0^{\circ}$	$0$	$1$
$9 0^{\circ}$	$1$	$0$
$18 0^{\circ}$	$0$	$- 1$

Точка полуокружности не опускается ниже оси $O x$ и не выходит за $- 1$ и $1$ по горизонтали. Поэтому:

синус любого угла от $0$ до $1$ ;
косинус любого угла от $- 1$ до $1$ .

Почему косинус тупого угла отрицательный

Тупому углу соответствует точка в левой половине дуги. У неё абсцисса меньше нуля, а ордината больше нуля. Отсюда знаки:

Угол	$sin$	$cos$	$tg$
острый	$+$	$+$	$+$
прямой	$1$	$0$	нет
тупой	$+$	$-$	$-$

Верно и обратное: если косинус угла треугольника отрицательный, этот угол тупой.

По синусу острый угол от тупого не отличить: $sin 3 0^{\circ}$ и $sin 15 0^{\circ}$ оба равны $\frac{1}{2}$ . Отличает их косинус.

Формулы для угла 180° − α

Углы $α$ и $18 0^{\circ} - α$ дают точки, симметричные относительно оси $O y$ . Высота у них одинаковая, а абсциссы отличаются знаком.

Свойство. Для любого угла

α

от

0^{\circ}

до

18 0^{\circ}

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

Проще запомнить так: у смежных углов синусы равны, а косинусы отличаются знаком.

Пример: $12 0^{\circ}$ это $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ , поэтому

$sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$

$cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

Тангенс и котангенс

Определение. Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу:

tg α = \frac{sin α}{cos α}

Косинус $9 0^{\circ}$ равен нулю, а на ноль делить нельзя. Поэтому тангенса $9 0^{\circ}$ не существует.

Котангенс равен отношению косинуса к синусу. У $0^{\circ}$ и $18 0^{\circ}$ котангенса нет: там синус равен нулю.

Тангенс тупого угла отрицательный:

$tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α$

Таблица: синус, косинус и тангенс 120°, 135°, 150°

Тупые углы сводим к острым по формулам для $18 0^{\circ} - α$ . Синус оставляем, у косинуса и тангенса меняем знак.

Угол	$sin$	$cos$	$tg$
$0^{\circ}$	$0$	$1$	$0$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$
$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
$9 0^{\circ}$	$1$	$0$	нет
$12 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- 3$
$13 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- 1$
$15 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- \frac{3}{3}$
$18 0^{\circ}$	$0$	$- 1$	$0$

Основное тригонометрическое тождество

Точка $M (cos α; sin α)$ лежит на окружности радиуса $1$ . Поэтому для любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ верно тождество:

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

По синусу тождество даёт косинус с точностью до знака. Знак выбирают по углу: плюс для острого, минус для тупого.

По косинусу синус находится однозначно, потому что синус не бывает отрицательным.

Ключевые формулы

M (cos α; sin α)

Точка единичной полуокружности

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

Синус угла

18 0^{\circ} - α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

Косинус угла

18 0^{\circ} - α

tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α

Тангенс угла

18 0^{\circ} - α

tg α = \frac{sin α}{cos α}

Тангенс,

α \neq = 9 0^{\circ}

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Основное тригонометрическое тождество

Запомни

Косинус угла равен абсциссе точки на единичной полуокружности, синус равен ординате.
$cos 0^{\circ} = 1$ , $cos 9 0^{\circ} = 0$ , $cos 18 0^{\circ} = - 1$ .
Синус угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ не бывает отрицательным.
Косинус и тангенс тупого угла отрицательные.
У смежных углов синусы равны, косинусы отличаются знаком.
Тангенса $9 0^{\circ}$ не существует.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Найдите

sin 12 0^{\circ}

cos 12 0^{\circ}

tg 12 0^{\circ}

Острый угол: $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
Синус не меняется: $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .
Косинус со знаком минус: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
Тангенс со знаком минус: $tg 12 0^{\circ} = - 3$ .

Ответ:

\frac{3}{2}

;

- \frac{1}{2}

;

- 3

Пример 2

Найдите

sin 15 0^{\circ}

cos 15 0^{\circ}

tg 15 0^{\circ}

Острый угол: $18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .
$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ .
$tg 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ .

Ответ:

\frac{1}{2}

;

- \frac{3}{2}

;

- \frac{3}{3}

Пример 3

Вычислите

3 sin 0^{\circ} - 5 cos 18 0^{\circ}

$sin 0^{\circ} = 0$ и $cos 18 0^{\circ} = - 1$ .
$3 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) = 5$ .

Ответ:

5

Пример 4

Углы

α

β

смежные,

cos α = - \frac{1}{6}

. Найдите

cos β

. Какой угол острый, а какой тупой?

У смежных углов косинусы отличаются знаком: $cos β = \frac{1}{6}$ .
Косинус $α$ отрицательный, значит, $α$ тупой.
Косинус $β$ положительный, значит, $β$ острый.

Ответ:

cos β = \frac{1}{6}

;

α

тупой,

β

острый

Пример 5

sin α = \frac{3}{5}

, угол

α

тупой. Найдите

cos α

tg α

$cos^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .
Угол тупой, косинус отрицательный: $cos α = - \frac{4}{5}$ .
$tg α = \frac{3}{5} : (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{4}$ .

Ответ:

- \frac{4}{5}

- \frac{3}{4}

Пример 6

Косинус угла

A

треугольника равен

- 0, 6

. Найдите синус угла

A

$sin^{2} A = 1 - 0, 36 = 0, 64$ .
Синус угла треугольника положительный: $sin A = 0, 8$ .

Ответ:

0, 8

Пример 7

Вычислите

cos^{2} 16 5^{\circ} + sin^{2} 16 5^{\circ}

Это основное тригонометрическое тождество. Оно верно для любого угла, сумма равна $1$ .

Ответ:

1

Пример 8

Найдите

tg (18 0^{\circ} - α)

, если

tg α = - 5

$tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α = 5$ .

Ответ:

5

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Забывают минус у косинуса тупого угла: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
Ставят минус синусу тупого угла. Синус тупого угла положительный: $sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Пишут, что тангенс $9 0^{\circ}$ равен $0$ или $1$ . Его не существует.
Находят косинус по синусу и всегда берут плюс. У тупого угла косинус отрицательный.
Вычитают угол не из $18 0^{\circ}$ . Для $13 5^{\circ}$ острый угол равен $4 5^{\circ}$ .

Частые вопросы

Чему равны синус, косинус и тангенс 120°?

Синус

12 0^{\circ}

равен

\frac{3}{2}

, косинус равен

- \frac{1}{2}

, тангенс равен

- 3

. Их находят через острый угол

6 0^{\circ}

Чему равны синус, косинус и тангенс 135° и 150°?

13 5^{\circ}

: синус

\frac{2}{2}

, косинус

- \frac{2}{2}

, тангенс

- 1

. У

15 0^{\circ}

: синус

\frac{1}{2}

, косинус

- \frac{3}{2}

, тангенс

- \frac{3}{3}

Почему косинус тупого угла отрицательный?

Косинус угла равен абсциссе точки единичной полуокружности. Тупому углу соответствует точка слева от оси

O y

, её абсцисса отрицательная.

Как найти синус и косинус тупого угла?

Вычти угол из

18 0^{\circ}

и возьми значения получившегося острого угла. Синус остаётся тем же, а косинус и тангенс меняют знак на минус.