9 класс Геометрия 10 мин чтения

Теорема синусов

Q: Как найти радиус описанной окружности по теореме синусов?

Раздели сторону на удвоенный синус угла напротив неё: R = a/(2sin α). Сторона 12, угол напротив 30°: R = 12.

Q: Почему при поиске угла по теореме синусов бывает два ответа?

Синусы углов α и 180° - α равны. Угол напротив меньшей стороны всегда острый, а в остальных случаях могут подойти оба угла.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а их отношение равно диаметру описанной окружности. С её помощью находят стороны по стороне и двум углам и радиус описанной окружности:

R = \frac{a}{2 sin α}

Проверь себя · 1 из 3

Какое равенство верно для любого треугольника

K L M

? (

R

обозначает радиус описанной окружности.)

Если известны сторона и два угла треугольника, остальные стороны находят по теореме синусов. Ещё она связывает стороны с радиусом описанной окружности, поэтому на ОГЭ её часто применяют в задачах № 15 и 16. Разберём формулу, откуда она берётся, задачу с двумя ответами и как выбрать между теоремой синусов и теоремой косинусов.

a : sin α = b : sin β = c : sin γ = 2R

Как найти сторону по теореме синусов

Найди пару, где известны и сторона, и угол напротив неё.
Если угол напротив искомой стороны неизвестен, найди его: сумма углов $18 0^{\circ}$ .
Составь пропорцию из двух дробей «сторона : синус угла напротив».
Вырази искомую сторону.

Пример. $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $B C = 10$ : $A C = \frac{10 \cdot sin 3 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = 52$ .

Как найти радиус описанной окружности

Возьми сторону и угол напротив неё.
Найди синус этого угла.
Раздели сторону на удвоенный синус.

Пример. Сторона $12$ , угол напротив $3 0^{\circ}$ : $R = \frac{12}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 12$ .

Содержание 13

Формулировка теоремы синусов

Обозначим стороны треугольника $A B C$ : $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ . Углы при вершинах $A$ , $B$ , $C$ обозначим $α$ , $β$ , $γ$ .

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

В каждой дроби стоят сторона и угол напротив неё. В задачах обычно берут одно равенство из двух дробей.

Доказательство через площадь

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Запишем её двумя способами:

$S = \frac{1}{2} ab sin γ$

$S = \frac{1}{2} b c sin α$

Приравняем и сократим на $\frac{1}{2} b$ :

$a sin γ = c sin α$

Разделим обе части на $sin α sin γ$ :

$\frac{a}{sin α} = \frac{c}{sin γ}$

Так же доказывают равенство с дробью $\frac{b}{sin β}$ .

Радиус описанной окружности

Следствие. Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

\frac{a}{sin α} = 2 R

Отсюда формула радиуса:

$R = \frac{a}{2 sin α}$

Откуда это следует:

Проведём диаметр $B D$ описанной окружности.
Углы $B A C$ и $B D C$ опираются на одну дугу, их синусы равны.
Угол $B C D$ опирается на диаметр, он прямой.
В прямоугольном треугольнике $B C D$ катет $B C = 2 R sin α$ .

Пример: у равностороннего треугольника со стороной $a$ все углы $6 0^{\circ}$ , поэтому $R = \frac{a}{3}$ .

Угол по синусу: когда ответов два

Синусы углов $α$ и $18 0^{\circ} - α$ равны. Поэтому по синусу угол находится не всегда однозначно. Например, синус $\frac{1}{2}$ у углов $3 0^{\circ}$ и $15 0^{\circ}$ .

Лишний ответ отбрасывают двумя проверками:

против меньшей стороны лежит меньший угол, он всегда острый;
сумма двух углов треугольника меньше $18 0^{\circ}$ .

Если подходят оба угла, в задаче два ответа: условию отвечают два разных треугольника.

Теорема синусов или теорема косинусов

Теорему косинусов бери, если известны:

две стороны и угол между ними;
три стороны.

Теорему синусов бери, если известны:

сторона и два угла;
две стороны и угол напротив одной из них;
сторона и угол напротив неё, а нужен радиус описанной окружности.

Подсказка: видишь в условии сторону и угол напротив неё, бери теорему синусов.

Решить треугольник

Решить треугольник значит найти все его стороны и углы по трём известным.

Две стороны и угол между ними: третью сторону по теореме косинусов, потом углы.
Сторона и два угла: третий угол дополняет сумму до $18 0^{\circ}$ , стороны по теореме синусов.
Три стороны: углы по теореме косинусов.

Ключевые формулы

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Теорема синусов

\frac{a}{sin α} = 2 R

Связь с описанной окружностью

R = \frac{a}{2 sin α}

Радиус описанной окружности

a = 2 R sin α

Сторона через радиус

Запомни

Сторона делится на синус угла напротив неё.
Все три отношения равны $2 R$ .
$R = \frac{a}{2 sin α}$ .
По синусу угол бывает острым или тупым, проверяй оба.
Угол напротив меньшей стороны всегда острый.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

В треугольнике

A B C

известно:

∠ A = 4 5^{\circ}

∠ B = 3 0^{\circ}

B C = 10

. Найдите

A C

$B C$ лежит напротив угла $A$ , $A C$ напротив угла $B$ .
$\frac{A C}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{10}{sin 4 5 ^{\circ}}$ .
$A C = \frac{10 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{2}} = \frac{10}{2} = 52$ .

Ответ:

52

Пример 2

В треугольнике

A B C

известно:

A B = 12

∠ C = 3 0^{\circ}

. Найдите радиус описанной окружности.

$A B$ лежит напротив угла $C$ .
$R = \frac{12}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 12$ .

Ответ:

12

Пример 3

Сторона равностороннего треугольника

103

. Найдите радиус описанной окружности.

Все углы по $6 0^{\circ}$ , синус $6 0^{\circ}$ равен $\frac{3}{2}$ .
$R = \frac{10 3}{2 \cdot \frac{3}{2}} = 10$ .

Ответ:

10

Пример 4

Радиус описанной окружности треугольника

A B C

равен

5

∠ A = 3 0^{\circ}

. Найдите

B C

$B C$ лежит напротив угла $A$ .
$B C = 2 R sin A = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5$ .

Ответ:

5

Пример 5

В треугольнике

A B C

известно:

A C = 2

B C = 1

∠ B = 4 5^{\circ}

. Найдите угол

A

$\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}$ .
$sin A = \frac{1 \cdot \frac{2}{2}}{2} = \frac{1}{2}$ .
Синус $\frac{1}{2}$ у углов $3 0^{\circ}$ и $15 0^{\circ}$ .
Угол $A$ лежит напротив меньшей стороны $B C$ , значит, он острый.

Ответ:

3 0^{\circ}

Пример 6

В треугольнике

A B C

известно:

A C = 2

B C = 1

∠ A = 3 0^{\circ}

. Найдите угол

B

$sin B = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1} = \frac{2}{2}$ .
Такой синус у углов $4 5^{\circ}$ и $13 5^{\circ}$ .
Угол $B$ лежит напротив большей стороны, он может быть и тупым.
С углом $A = 3 0^{\circ}$ в сумме меньше $18 0^{\circ}$ дают оба варианта.

Ответ:

4 5^{\circ}

или

13 5^{\circ}

Пример 7

В треугольнике

A B C

известно:

∠ A = 6 0^{\circ}

∠ B = 7 5^{\circ}

A B = 42

. Найдите

B C

Третий угол: $∠ C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ .
$A B$ напротив угла $C$ , $B C$ напротив угла $A$ : $\frac{B C}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{4 2}{sin 4 5 ^{\circ}}$ .
Правая часть: $\frac{4 2}{sin 4 5 ^{\circ}} = 8$ .
$B C = 8 \cdot \frac{3}{2} = 43$ .

Ответ:

43

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Делят сторону на синус соседнего угла. Нужен угол напротив стороны.
Теряют двойку: $\frac{a}{sin α}$ равно диаметру $2 R$ , а не радиусу.
Забывают тупой вариант угла: синус $\frac{2}{2}$ дают $4 5^{\circ}$ и $13 5^{\circ}$ .
Оставляют оба угла, когда угол лежит напротив меньшей стороны. Он острый.
Не находят третий угол, хотя он нужен для пропорции.

Частые вопросы

Как звучит теорема синусов?

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

. Каждое отношение равно

2 R

, диаметру описанной окружности.

Как найти радиус описанной окружности по теореме синусов?

Раздели сторону на удвоенный синус угла напротив неё:

R = \frac{a}{2 sin α}

. Сторона

12

, угол напротив

3 0^{\circ}

R = 12

Как найти сторону по теореме синусов?

Возьми пару «сторона и угол напротив», которая известна полностью, и составь пропорцию.

∠ A = 4 5^{\circ}

∠ B = 3 0^{\circ}

B C = 10

A C = \frac{10 \cdot sin 3 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = 52

Почему при поиске угла по теореме синусов бывает два ответа?

Синусы углов

α

18 0^{\circ} - α

равны. Угол напротив меньшей стороны всегда острый, а в остальных случаях могут подойти оба угла.