9 класс Геометрия 9 мин чтения

Векторы. Основные понятия и действия с векторами

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Вектором называют направленный отрезок: у него есть длина и направление. Векторы складывают по правилу треугольника:

A B + B C = A C

. Вычитание сводится к сложению с противоположным вектором:

a - b = a + (- b)

. При умножении на число

k

длина вектора умножается на

∣ k ∣

, а при

k < 0

направление меняется на противоположное.

Проверь себя · 1 из 3

Дан правильный шестиугольник

A B C D E F

с центром

O

. Какой из векторов равен вектору

B A

Векторы появляются везде, где важна не только длина, но и направление: скорость самолёта, сила ветра, движение в навигаторе. Освоив векторы, вы получите универсальный инструмент для решения задач геометрии и физики.

|a| = √(x² + y²)

Содержание 9

Что такое вектор

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указано, какой конец является начальным, а какой — конечным. Начальная точка называется началом вектора, конечная — концом.

Вектор с началом $A$ и концом $B$ обозначают $A B$ . Если вектор обозначен одной буквой, пишут $a$ , $b$ , $c$ .

Длина (модуль) вектора — это длина отрезка от начала до конца. Обозначается $∣ A B ∣$ или $∣ a ∣$ . Модуль всегда неотрицателен.

Нулевой вектор $0$ — особый случай: его начало и конец совпадают, длина равна нулю, направление не определено. Нулевой вектор считается параллельным любому вектору.

Почему «направленный отрезок», а не просто «отрезок»? Обычный отрезок $A B$ и отрезок $B A$ — одно и то же. Но векторы $A B$ и $B A$ — разные: они смотрят в противоположные стороны.

Равенство векторов и коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются равными ( $a = b$ ), если они:

имеют одинаковую длину (одинаковый модуль),
имеют одинаковое направление.

Важно: равные векторы не обязаны лежать на одном отрезке и иметь общие точки. Вектор можно свободно переносить параллельно самому себе — это правило свободного вектора. Поэтому говорят, что вектор задаётся длиной и направлением, но не положением на плоскости.

Противоположные векторы — это векторы с одинаковой длиной, но с противоположными направлениями. Вектор, противоположный $a$ , обозначается $- a$ . При этом $A B$ и $B A$ — противоположные.

Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными (одинаковое направление) или противоположно направленными. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Сложение векторов

Правило треугольника. Чтобы сложить

a

b

: поместим начало

b

в конец

a

. Тогда сумма

a + b

— это вектор из начала

a

в конец

b

Формально: если $a = A B$ и $b = B C$ , то $a + b = A C$ .

Правило параллелограмма. Если

a

b

отложены от одной точки, строим параллелограмм на них как на сторонах. Диагональ из той же точки и есть

a + b

Свойства сложения:

Переместительный закон: $a + b = b + a$ .
Сочетательный закон: $(a + b) + c = a + (b + c)$ .
Сложение с нулевым вектором: $a + 0 = a$ .
Сложение с противоположным: $a + (- a) = 0$ .

Почему правило треугольника работает? Сумма двух перемещений — это итоговое перемещение. Если вы прошли путь $a$ , а затем путь $b$ , итоговое смещение от старта до финиша — это и есть $a + b$ .

Вычитание векторов и умножение вектора на число

Вычитание векторов определяется через сложение с противоположным: $a - b = a + (- b) .$

Практически: если $a = O A$ и $b = O B$ отложены из одной точки $O$ , то $a - b = B A$ (вектор из конца $b$ в конец $a$ ).

Умножение вектора на число. Пусть $λ$ — вещественное число, $a$ — ненулевой вектор. Тогда $λ a$ — вектор, у которого:

длина равна $∣ λ ∣ \cdot ∣ a ∣$ ,
направление совпадает с $a$ , если $λ > 0$ , и противоположно $a$ , если $λ < 0$ .
При $λ = 0$ получаем нулевой вектор $0$ .

Свойства умножения на число:

$λ (a + b) = λ a + λ b$ ,
$(λ + μ) a = λ a + μ a$ ,
$(λ μ) a = λ (μ a)$ ,
$1 \cdot a = a$ .

Средняя точка отрезка и правило многоугольника

Правило многоугольника — обобщение правила треугольника на сумму нескольких векторов: если векторы

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

расставлены цепочкой (конец каждого совпадает с началом следующего), то их сумма — вектор из начала первого в конец последнего.

Важное следствие: если цепочка замкнулась (конец последнего вектора совпал с началом первого), то сумма всех векторов равна нулевому вектору:

A B + B C + C A = 0 .

Середина отрезка через векторы. Пусть $M$ — середина отрезка $A B$ . Тогда $O M = \frac{1}{2} (O A + O B)$ для любой точки $O$ . Это удобная формула для нахождения координат середины.

Вектор $A B$ через радиус-векторы. Если $O$ — произвольная точка и заданы $O A$ , $O B$ , то $A B = O B - O A$ . Это следует из правила треугольника: $O A + A B = O B$ .

Ключевые формулы

A B + B C = A C

Правило треугольника (сложение)

A B = O B - O A

Вектор как разность радиус-векторов

∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣ \cdot ∣ a ∣

Умножение вектора на число: длина результата

O M = \frac{1}{2} (O A + O B)

Радиус-вектор середины отрезка

Запомни

Вектор задаётся длиной и направлением; положение на плоскости не важно — вектор можно переносить параллельно самому себе.
Два вектора равны, если у них одинаковые длина и направление.
При сложении по правилу треугольника: начало второго вектора совмещается с концом первого, а сумма — от начала первого до конца второго.
Вычитание — это сложение с противоположным вектором: $a - b = a + (- b)$ .
Сумма векторов замкнутого многоугольника (по цепочке) равна нулевому вектору.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

На рисунке дан треугольник

A B C

. Найдите вектор

A B + B C

Записываем сумму по правилу треугольника: конец первого вектора $A B$ — точка $B$ , начало второго $B C$ — тоже точка $B$ , значит они образуют цепочку.
$A B + B C = A C$ .

Ответ:

A B + B C = A C

Пример 2

Дан отрезок

A B

. Точка

O

не лежит на прямой

A B

. Известны векторы

O A

O B

. Выразите вектор

A B

через

O A

O B

Запишем правило треугольника для точек $O$ , $A$ , $B$ : $O A + A B = O B$ .
Отсюда вычтем $O A$ из обеих частей: $A B = O B - O A$ .

Ответ:

A B = O B - O A

Пример 3

Дан параллелограмм

A B C D

. Диагонали пересекаются в точке

O

. Докажите, что

A O = O C

, то есть

O

— середина диагонали

A C

Подсказка: Используй равенство

A B = D C

(свойство параллелограмма) и правило треугольника для каждой половины диагонали.

В параллелограмме $A B C D$ по определению $A B = D C$ , то есть $A B ∥ D C$ и $∣ A B ∣ = ∣ D C ∣$ .
Запишем цепочку векторов: $A O = A B + B O$ .
Аналогично: $O C = O D + D C$ .
Так как $A B C D$ — параллелограмм, $O B = O D$ (диагонали параллелограмма делятся пополам — это свойство), значит $B O = - O B = - O D = D O$ .
Тогда $A O = A B + B O$ и $O C = O D + D C = - D O + A B = A B + B O = A O$ .
Итого: $A O = O C$ , что означает равенство длин и направлений — точка $O$ делит $A C$ пополам.

Ответ:

A O = O C

, точка

O

является серединой диагонали

A C

Пример 4

Точки

A

B

C

— вершины треугольника,

M

— середина стороны

B C

. Выразите вектор

A M

через векторы

A B

A C

Подсказка: Разбей путь

A \to M

на два шага:

A \to B \to M

. Потом выразь

B M

через

B C

, а

B C

— через

A B

A C

Поскольку $M$ — середина $B C$ , запишем: $B M = \frac{1}{2} B C$ .
Выразим $B C$ через $A B$ и $A C$ : $B C = A C - A B$ .
Запишем $A M$ по правилу треугольника: $A M = A B + B M$ .
Подставим $B M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} (A C - A B)$ : $A M = A B + \frac{1}{2} (A C - A B)$ .
Раскроем скобки: $A M = A B + \frac{1}{2} A C - \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ .
Итого: $A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ .

Ответ:

A M = \frac{1}{2} (A B + A C)

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают начало и конец вектора: $A B$ и $B A$ — разные (противоположные) векторы, не одно и то же.
При вычитании $a - b$ строят вектор не от конца $b$ к концу $a$ , а наоборот — получают $b - a$ .
Считают, что равные векторы обязательно лежат на одном отрезке. На самом деле равенство векторов — это совпадение длины и направления, а не положения.
При умножении на отрицательное число забывают изменить направление вектора на противоположное.