Умножение вектора на число

Обрати внимание: вектор $\lambda \vec{a}$ всегда коллинеарен вектору $\vec{a}$ (лежит на параллельной прямой или на той же прямой), если $\vec{a}\ne \vec{0}$.

Умножение на число — это гомотетия вектора:

• При $\lambda =2$ вектор становится вдвое длиннее и смотрит в ту же сторону.
• При $\lambda =-1$ длина не меняется, но направление разворачивается на $180^{\circ }$. Вектор $(-1)\cdot \vec{a}$ обозначают $-\vec{a}$ и называют противоположным.
• При $\lambda =\frac{1}{2}$ длина уменьшается вдвое, направление сохраняется.
• При $\lambda =0$ получается нулевой вектор $\vec{0}$, у которого нет направления и длина равна нулю.

На чертеже: если $\overrightarrow{AB}$ нарисован, то $2\overrightarrow{AB}$ — стрелка той же линии, но вдвое длиннее; $-\overrightarrow{AB}$ — стрелка той же длины, но в обратную сторону.

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любых чисел $\lambda$, $\mu$ выполняются следующие свойства.

1. Ассоциативность: $\lambda (\mu \vec{a})=(\lambda \mu )\vec{a}$.

2. Дистрибутивность по векторам: $\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$.

3. Дистрибутивность по числам: $(\lambda +\mu )\vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}$.

4. Единичный множитель: $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$.

Эти четыре свойства — аксиомы векторного пространства. Именно благодаря им вектора можно «раскрывать скобки» и «выносить числа», как в обычной алгебре.

Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными ($\vec{a}\parallel \vec{b}$), если они лежат на одной или параллельных прямых.

Критерий коллинеарности. Ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $\lambda$, что $\vec{b}=\lambda \vec{a}$.

Практический вывод: чтобы доказать, что три точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, достаточно показать, что $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AB}$ для некоторого вещественного $\lambda$.

Вектор единичной длины, сонаправленный с $\vec{a}$ ($\vec{a}\ne \vec{0}$), называют единичным вектором и обозначают ${\vec{e}}_a$:

${\vec{e}}_a=\frac{1}{|\vec{a}|}\cdot \vec{a}$

Тогда любой вектор можно записать через свой единичный вектор: $\vec{a}=|\vec{a}|\cdot {\vec{e}}_a$. Это удобно, когда нужно разделить «длину» и «направление» вектора.

В координатной форме: если $\vec{a}=(x;y)$, то $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$, а $\lambda \vec{a}=(\lambda x;\lambda y)$. Умножение на число — это просто умножение каждой координаты на это число.