9 класс Геометрия 8 мин чтения

Простейшие задачи в координатах

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Координатный метод позволяет переводить геометрические задачи на язык чисел и формул — находить длины отрезков, координаты середин, уравнения прямых и расстояния между фигурами.

Проверь себя · 1 из 3

Найдите длину вектора

a {- 12; - 16}

Система координат — универсальный «переводчик» геометрии в алгебру: вместо циркуля и линейки достаточно двух чисел, чтобы точно описать любую точку плоскости. Без координатного метода не работали бы ни навигатор в телефоне, ни компьютерная графика, ни архитектурные программы.

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Содержание 9

Координаты точки на плоскости

Прямоугольная (декартова) система координат — это две перпендикулярные числовые оси: ось абсцисс $O x$ (горизонтальная) и ось ординат $O y$ (вертикальная), пересекающиеся в точке начала координат $O (0; 0)$ .

Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел $(x; y)$ , где:

$x$ — абсцисса: горизонтальное расстояние от оси $O y$ (со знаком);
$y$ — ордината: вертикальное расстояние от оси $O x$ (со знаком).

Плоскость делится осями на четыре координатных четверти. В первой четверти оба знака «плюс», во второй $x < 0, y > 0$ , в третьей оба «минус», в четвёртой $x > 0, y < 0$ .

Важно: точки на осях ни к одной четверти не относятся.

Расстояние между двумя точками

Пусть даны точки $A (x_{1}; y_{1})$ и $B (x_{2}; y_{2})$ . Отрезок $A B$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ и $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ .

По теореме Пифагора:

$∣ A B ∣^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Поэтому длина отрезка $A B$ равна:

$∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Частные случаи:

Если $y_{1} = y_{2}$ (точки на одной горизонтали), то $∣ A B ∣ = ∣ x_{2} - x_{1} ∣$ .
Если $x_{1} = x_{2}$ (точки на одной вертикали), то $∣ A B ∣ = ∣ y_{2} - y_{1} ∣$ .

Порядок вычитания координат не влияет на результат, потому что разность возводится в квадрат: $(x_{2} - x_{1})^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2}$ .

Координаты середины отрезка

Середина $M$ отрезка $A B$ , где $A (x_{1}; y_{1})$ и $B (x_{2}; y_{2})$ , имеет координаты:

$M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

Почему так? Точка $M$ делит отрезок пополам. Значит, её абсцисса — ровно посередине между $x_{1}$ и $x_{2}$ , то есть среднее арифметическое этих двух чисел. То же верно для ординат.

Применение: формула середины используется при нахождении центра окружности, описанной около прямоугольника, центра масс фигуры, а также при доказательстве свойств параллелограмма (диагонали делятся точкой пересечения пополам).

Уравнение окружности

Определение. Окружность с центром

C (a; b)

и радиусом

r

— это множество всех точек плоскости, удалённых от точки

C

на расстояние

r

Пусть $P (x; y)$ — произвольная точка окружности. Тогда $∣ C P ∣ = r$ , то есть:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r$

Возводя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Частный случай — окружность с центром в начале координат $O (0; 0)$ :

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Чтобы по уравнению определить центр и радиус, нужно привести его к стандартному виду: выделить полные квадраты по $x$ и по $y$ .

Уравнение прямой и взаимное расположение прямой и окружности

Уравнение прямой на плоскости имеет вид $y = k x + b$ , где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — сдвиг по оси $O y$ .

Чтобы определить, проходит ли прямая через заданную точку, достаточно подставить координаты точки в уравнение и проверить равенство.

Взаимное расположение прямой и окружности определяется через расстояние $d$ от центра окружности до прямой и радиус $r$ :

Условие	Расположение
$d < r$	прямая пересекает окружность (хорда)
$d = r$	прямая касается окружности (касательная)
$d > r$	прямая не пересекает окружность

Для прямой вида $A x + B y + C = 0$ расстояние от точки $(x_{0}; y_{0})$ до неё:

$d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$

Ключевые формулы

∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Расстояние между точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂)

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

Координаты середины отрезка AB

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом r

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

Расстояние от точки (x₀; y₀) до прямой Ax + By + C = 0

Запомни

Расстояние между точками находят по формуле с корнем квадратным из суммы квадратов разностей координат — это теорема Пифагора в координатах.
Координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов по каждой оси отдельно.
В уравнении окружности $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ центр — точка $(a; b)$ , радиус — $r$ (не $r^{2}$ ).
Чтобы проверить, лежит ли точка на окружности, подставь её координаты в уравнение: если равенство выполнено — лежит.
Порядок вычитания координат при нахождении расстояния не важен: $(x_{2} - x_{1})^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2}$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Дано: точки

A (1; 2)

B (4; 6)

. Найти длину отрезка

A B

Подсказка: Разности координат — катеты прямоугольного треугольника. Применяй теорему Пифагора.

Запишем формулу расстояния: $∣ A B ∣^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ , длина $∣ A B ∣$ равна корню из этой суммы.
Подставляем координаты: $∣ A B ∣ = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Ответ:

∣ A B ∣ = 5

Пример 2

Дано: отрезок с концами

K (- 3; 1)

L (5; - 7)

. Найти координаты середины отрезка

K L

Применяем формулу середины: $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ .
Находим абсциссу: $x_{M} = \frac{- 3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ .
Находим ординату: $y_{M} = \frac{1 + ( - 7 )}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$ .
Ответ: $M (1; - 3)$ .

Ответ:

M (1; - 3)

Пример 3

Дано: окружность задана уравнением

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16

. Определить центр и радиус. Проверить, лежит ли точка

P (2; 1)

на этой окружности.

Подсказка: Центр читается прямо из уравнения со знаком, обратным тому, что стоит под скобкой. Не забудь: радиус — корень из правой части.

Уравнение имеет вид $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , значит $a = 2$ , $b = - 3$ , $r^{2} = 16$ , поэтому $r = 4$ . Центр $C (2; - 3)$ , радиус $r = 4$ .
Подставляем координаты точки $P (2; 1)$ в уравнение: $(2 - 2)^{2} + (1 + 3)^{2} = 0 + 16 = 16$ .
Полученное значение равно $r^{2} = 16$ , равенство выполнено, значит точка $P$ лежит на окружности.

Ответ: Центр

C (2; - 3)

, радиус

r = 4

; точка

P (2; 1)

лежит на окружности.

Пример 4

Дано: точки

A (0; 0)

B (6; 0)

C (6; 8)

. Доказать, что треугольник

A B C

прямоугольный, и найти координаты центра описанной около него окружности и её радиус.

Находим длины сторон. $∣ A B ∣ = (6 - 0)^{2} + (0 - 0)^{2} = 36 = 6$ .
$∣ B C ∣ = (6 - 6)^{2} + (8 - 0)^{2} = 64 = 8$ .
$∣ A C ∣ = (6 - 0)^{2} + (8 - 0)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .
Проверяем теорему Пифагора: $∣ A B ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} = 36 + 64 = 100 = ∣ A C ∣^{2}$ . Условие выполнено — треугольник прямоугольный, прямой угол при вершине $B$ .
По теореме геометрии центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы $A C$ .
Середина $A C$ : $M = (\frac{0 + 6}{2}; \frac{0 + 8}{2}) = (3; 4)$ .
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $R = \frac{∣ A C ∣}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

Ответ: Треугольник прямоугольный (прямой угол при

B

). Центр описанной окружности

M (3; 4)

, радиус

R = 5

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают центр и радиус в уравнении окружности: из $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ центр — $(3; - 2)$ , а радиус — $5$ (не $25$ ).
При нахождении середины отрезка складывают координаты, но забывают делить на 2.
При вычислении расстояния берут разность координат без возведения в квадрат, то есть применяют формулу $∣ A B ∣ = ∣ x_{2} - x_{1} ∣ + ∣ y_{2} - y_{1} ∣$ вместо корня из суммы квадратов.
В уравнении окружности с центром в начале координат записывают $(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = r$ вместо $r^{2}$ — забывают, что в правой части стоит квадрат радиуса.