9 класс Геометрия 7 мин чтения

Координаты вектора. Разложение вектора по осям

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Каждый вектор на плоскости однозначно задаётся парой чисел — своими координатами, которые показывают, как вектор раскладывается по направлениям осей координат.

Проверь себя · 1 из 3

Дан вектор

C D {2; 2}

. Найдите координаты вектора

D C

Представь, что ты описываешь другу дорогу: «пройди 3 шага вправо и 4 шага вверх» — ты только что задал вектор координатами. Координаты векторов используются в физике (сила, скорость), программировании игр и компьютерной графике.

|a| = √(x² + y²)

Содержание 9

Что такое координаты вектора

Введём на плоскости систему координат с началом $O$ , осью $O x$ (горизонталь) и осью $O y$ (вертикаль). Единичные векторы вдоль этих осей обозначают $i$ (вдоль $O x$ ) и $j$ (вдоль $O y$ ) — их называют ортами координатных осей.

Пусть дан вектор $a$ . Проведём из начальной точки вектора перпендикуляры к осям координат. Тогда проекция $a$ на ось $O x$ равна числу $a_{x}$ , а проекция на ось $O y$ равна числу $a_{y}$ .

Определение. Координатами вектора

a

называются числа

a_{x}

a_{y}

— его проекции на оси координат. Записывают:

a = (a_{x}, a_{y})

Число $a_{x}$ называют абсциссой вектора, $a_{y}$ — ординатой вектора.

Разложение вектора по осям (по ортам)

Теорема о разложении. Любой вектор

a

на плоскости однозначно представляется в виде суммы:

a = a_{x} i + a_{y} j,

где

a_{x}

a_{y}

— координаты вектора

a

Почему так? Вектор $a_{x} i$ — это горизонтальная «составляющая», направленная вдоль $O x$ с длиной $∣ a_{x} ∣$ . Вектор $a_{y} j$ — вертикальная составляющая вдоль $O y$ . Сложив их по правилу параллелограмма (или треугольника), получаем исходный вектор $a$ . Единственность разложения следует из того, что $i$ и $j$ неколлинеарны.

Пример записи: если $a = (3, - 2)$ , то $a = 3 i + (- 2) j = 3 i - 2 j$ .

Координаты вектора через координаты его начала и конца

Пусть вектор $A B$ , где $A = (x_{1}, y_{1})$ и $B = (x_{2}, y_{2})$ . Тогда координаты вектора: $A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}) .$

Почему вычитаем координаты начала из координат конца? Вектор $A B$ равен разности радиус-векторов: $A B = O B - O A$ . Радиус-вектор точки совпадает с её координатами, отсюда и формула.

Пример: $A = (1, 3)$ , $B = (4, - 1)$ . Тогда $A B = (4 - 1, - 1 - 3) = (3, - 4)$ .

Действия с векторами в координатах

Все операции над векторами выполняются покоординатно.

Сумма векторов: если $a = (a_{x}, a_{y})$ и $b = (b_{x}, b_{y})$ , то $a + b = (a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y}) .$

Разность векторов: $a - b = (a_{x} - b_{x}, a_{y} - b_{y}) .$

Умножение на число: для любого числа $λ$ $λ a = (λ a_{x}, λ a_{y}) .$

Длина (модуль) вектора: $∣ a ∣ = a_{x}^{2} + a_{y}^{2} .$

Эта формула — прямое следствие теоремы Пифагора: катеты прямоугольного треугольника равны $∣ a_{x} ∣$ и $∣ a_{y} ∣$ , а гипотенуза — $∣ a ∣$ .

Нулевой вектор имеет координаты $(0, 0)$ .

Коллинеарность и условие равенства векторов

Равенство векторов. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: $a = b ⟺ a_{x} = b_{x} и a_{y} = b_{y} .$

Коллинеарность векторов. Векторы $a = (a_{x}, a_{y})$ и $b = (b_{x}, b_{y})$ коллинеарны тогда и только тогда, когда $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} = 0.$ Это условие означает, что один вектор является кратным другому: $a = λ b$ для некоторого числа $λ$ . Если оба вектора ненулевые, это равносильно пропорциональности координат: $\frac{a _{x}}{b _{x}} = \frac{a _{y}}{b _{y}}$ (при $b_{x} \neq = 0$ и $b_{y} \neq = 0$ ).

Ключевые формулы

A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})

Координаты вектора по двум точкам

∣ a ∣ = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}

Длина (модуль) вектора

a = a_{x} i + a_{y} j

Разложение вектора по ортам

a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} = 0

Условие коллинеарности двух векторов

Запомни

Координаты вектора — это проекции на оси $O x$ и $O y$ : сначала горизонталь, потом вертикаль.
Координаты вектора $A B$ : вычитай координаты начала из координат конца (не наоборот).
Длина вектора считается по формуле Пифагора: $∣ a ∣ = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}$ .
Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число) выполняются покоординатно.
Нулевой вектор имеет координаты $(0, 0)$ , его направление не определено.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

На координатной плоскости даны точки

A (2, 1)

B (5, 4)

. Найди координаты вектора

A B

Координаты вектора равны разности координат конца и начала: $A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})$ .
$x_{B} - x_{A} = 5 - 2 = 3$ .
$y_{B} - y_{A} = 4 - 1 = 3$ .
Итого: $A B = (3, 3)$ .

Ответ:

A B = (3, 3)

Пример 2

Даны векторы

a = (3, - 4)

. Найди длину вектора

a

Подсказка: Квадрат отрицательного числа положителен:

(- 4)^{2} = 16

Длина вектора: $∣ a ∣ = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}$ .
$∣ a ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Ответ:

∣ a ∣ = 5

Пример 3

Даны векторы

a = (1, - 2)

b = (3, 4)

. Найди координаты вектора

2 a - b

и его длину.

Подсказка: Сначала умножь на число, затем выполни вычитание — всё покоординатно.

Умножаем $a$ на 2 покоординатно: $2 a = (2 \cdot 1, 2 \cdot (- 2)) = (2, - 4)$ .
Вычитаем $b$ покоординатно: $2 a - b = (2 - 3, - 4 - 4) = (- 1, - 8)$ .
Находим длину: $∣2 a - b ∣ = (- 1)^{2} + (- 8)^{2} = 1 + 64 = 65$ .

Ответ:

2 a - b = (- 1, - 8)

, длина равна

65

Пример 4

На плоскости даны точки

A (1, 2)

B (4, 6)

C (- 2, k)

. При каком значении

k

векторы

A B

A C

коллинеарны?

Подсказка: Коллинеарность — это «перекрёстное произведение» координат равно нулю:

a_{x} b_{y} = a_{y} b_{x}

Находим координаты $A B$ : $A B = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$ .
Находим координаты $A C$ : $A C = (- 2 - 1, k - 2) = (- 3, k - 2)$ .
Условие коллинеарности: $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} = 0$ , то есть $3 \cdot (k - 2) - 4 \cdot (- 3) = 0$ .
$3 (k - 2) + 12 = 0$ , что равносильно $3 k - 6 + 12 = 0$ , то есть $3 k + 6 = 0$ .
$3 k = - 6$ , откуда $k = - 2$ .

Ответ:

k = - 2

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают порядок вычитания при нахождении координат вектора: пишут $(x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2})$ вместо $(x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$ . Запомни: координаты конца минус координаты начала.
Забывают, что длина вектора всегда неотрицательна: $∣ a ∣ \geq 0$ , поэтому нельзя оставлять отрицательный результат под корнем.
При умножении вектора на число умножают только одну координату вместо обеих: например, $2 \cdot (3, 4) = (6, 4)$ — ошибка; правильно $(6, 8)$ .
Смешивают понятия «координаты точки» и «координаты вектора»: координаты точки $A = (x_{1}, y_{1})$ и координаты вектора $O A = (x_{1}, y_{1})$ совпадают только для радиус-вектора (когда начало в $O$ ).