9 класс Геометрия 7 мин чтения

Сложение и вычитание векторов

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Сложение и вычитание векторов — операции, позволяющие находить результирующее направление и величину из нескольких векторных слагаемых с помощью геометрических правил.

Проверь себя · 1 из 3

Какому вектору равно выражение

C E + E D

Представь, что ты плывёшь на лодке поперёк реки: течение тащит тебя вдоль берега, а вёсла — поперёк. Твоё реальное движение — это сумма двух векторов. Именно поэтому сложение и вычитание векторов изучают в физике, навигации, механике и компьютерной графике.

правило треугольника: конец a → начало b

Как сложить векторы по правилу треугольника

Отложи первый вектор $a$ от любой точки $A$ . Его конец назови $B$ .
От точки $B$ отложи второй вектор $b$ . Его конец назови $C$ .
Проведи вектор из начала первого в конец второго: $A C = a + b$ .

Пример. $A B + B C = A C$ : конец первого вектора совпал с началом второго, сумма идёт из $A$ в $C$ .

Как вычесть векторы

Отложи оба вектора $a$ и $b$ от одной точки $O$ .
Соедини их концы.
Направь стрелку к концу вектора $a$ , из которого вычитаешь. Это вектор $a - b$ .

Пример. $O A - O B = B A$ : стрелка идёт из конца $O B$ в конец $O A$ .

Содержание 11

Что такое вектор и его основные характеристики

Вектор — это направленный отрезок: у него есть начало, конец и длина (модуль). Вектор $a$ изображают стрелкой; длину обозначают $∣ a ∣$ или просто $a$ .

Нулевой вектор $0$ имеет нулевую длину и произвольное направление.

Равные векторы — векторы с одинаковым направлением и одинаковым модулем (начала могут различаться — вектор можно переносить параллельно самому себе).

Противоположные векторы: $- a$ имеет тот же модуль, что $a$ , но противоположное направление.

Сложение двух векторов: правило треугольника

Правило треугольника. Чтобы сложить векторы

a

b

: отложи

a

из некоторой точки

A

, получив конец

B

; затем из точки

B

отложи

b

, получив конец

C

. Тогда вектор

A C

— это сумма

a + b

Запись: $A B + B C = A C$ .

Почему так? Два последовательных перемещения дают одно результирующее перемещение — именно вектор из начала первого в конец второго.

Важно: конец первого вектора должен совпадать с началом второго.

Сложение двух векторов: правило параллелограмма

Правило параллелограмма. Если из одной точки

O

отложить оба вектора

a

b

, то их сумма равна диагонали параллелограмма, построенного на

a

b

как на сторонах, проведённой из той же точки

O

Это правило удобно, когда оба вектора уже начинаются в одной точке (например, скорости, силы).

Связь с правилом треугольника: оба правила дают одинаковый результат — они лишь по-разному изображают ту же операцию. Правило треугольника используют чаще при сложении нескольких векторов цепочкой.

Свойства сложения векторов

Сложение векторов обладает теми же свойствами, что и сложение чисел:

Переместительное (коммутативное): $a + b = b + a$
Сочетательное (ассоциативное): $(a + b) + c = a + (b + c)$
Нейтральный элемент: $a + 0 = a$
Противоположный элемент: $a + (- a) = 0$

Сложение нескольких векторов (правило многоугольника): откладываем векторы цепочкой — конец предыдущего совпадает с началом следующего. Сумма — вектор из начала первого в конец последнего.

Вычитание векторов

Определение. Разность

a - b

— это вектор, который нужно прибавить к

b

, чтобы получить

a

. Иными словами:

a - b = a + (- b)

Как построить: отложи оба вектора $a$ и $b$ из одной точки $O$ . Тогда $a - b$ — вектор, проведённый из конца $b$ в конец $a$ .

Полезный частный случай: если $A$ и $B$ — точки, то $A B = O B - O A$ , где $O$ — любая фиксированная точка (начало координат или другая удобная точка). Это соотношение часто используют в задачах на координаты.

Ключевые формулы

A B + B C = A C

Правило треугольника: сумма векторов

a - b = a + (- b)

Определение разности векторов

A B = O B - O A

Разность через радиус-векторы точек

a + b = b + a

Коммутативность сложения векторов

Запомни

При правиле треугольника конец первого вектора должен совпадать с началом второго — только тогда сумма равна вектору «от начала до конца».
Вычесть вектор $b$ — значит прибавить противоположный: $a - b = a + (- b)$ .
Результат сложения/вычитания — тоже вектор (имеет направление и длину), а не число.
Правило треугольника и правило параллелограмма дают один и тот же вектор-сумму — это два способа одной операции.
Сумма вектора и противоположного ему равна нулевому вектору: $a + (- a) = 0$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

На рисунке изображены точки

A

B

C

. Найдите вектор

A B + B C

Запишем, что ищем: $A B + B C$ .
Конец первого вектора $A B$ — точка $B$ , начало второго вектора $B C$ — тоже точка $B$ . Условие правила треугольника выполнено.
По правилу треугольника: $A B + B C = A C$ .

Ответ:

A B + B C = A C

Пример 2

Дан квадрат

A B C D

со стороной

1

. Найдите вектор

A B + A D

и его модуль.

Подсказка: В прямоугольнике (и квадрате) модуль суммы двух взаимно перпендикулярных векторов находится по теореме Пифагора.

Отложим $A B$ и $A D$ из общей точки $A$ . Они перпендикулярны и оба имеют длину $1$ .
По правилу параллелограмма сумма $A B + A D$ равна диагонали $A C$ параллелограмма (здесь — квадрата), построенного на этих векторах.
Диагональ квадрата со стороной $1$ равна $∣ A C ∣ = 1^{2} + 1^{2} = 2$ .

Ответ:

A B + A D = A C

∣ A C ∣ = 2

Пример 3

Из точки

O

отложены векторы

O A

O B

. Постройте вектор

O A - O B

и запишите его через точки.

Вычитание заменяем сложением с противоположным: $O A - O B = O A + (- O B)$ .
Вектор $- O B$ — это вектор $B O$ (той же длины, противоположного направления).
Применим формулу разности через радиус-векторы: $O A - O B = B A$ .
Геометрически: откладываем оба вектора из $O$ , проводим вектор из конца $O B$ (точка $B$ ) в конец $O A$ (точка $A$ ) — это и есть $B A$ .

Ответ:

O A - O B = B A

Пример 4

В треугольнике

A B C

точка

M

— середина стороны

B C

. Выразите вектор

A M

через векторы

A B

A C

Запишем $A M$ через точку $A$ : $A M = A B + B M$ .
Так как $M$ — середина $B C$ , то $B M = \frac{1}{2} B C$ .
Выразим $B C$ через $A B$ и $A C$ : $B C = A C - A B$ (правило разности, оба из точки $A$ ).
Подставим: $A M = A B + \frac{1}{2} (A C - A B) = A B + \frac{1}{2} A C - \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ .

Ответ:

A M = \frac{1}{2} (A B + A C)

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают направление вектора разности: $a - b$ — вектор из конца $b$ в конец $a$ (если оба отложены из одной точки), а не наоборот.
При правиле треугольника сдвигают второй вектор не из конца первого, а строят из той же точки — получают параллелограмм вместо треугольника и смешивают два правила.
Складывают модули векторов вместо самих векторов: $∣ a + b ∣ \neq = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ в общем случае (равенство только при сонаправленных векторах).
Забывают, что вектор можно переносить параллельно самому себе, и думают, что сложить можно только «прикреплённые» к фиксированной точке векторы.