Как разложить число на простые множители

Простое число делится только на 1 и на само себя. Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Подробнее про них в теме простые и составные числа.

Запись 12 = 3 · 4 разложением на простые множители не считается: 4 не простое, его можно разложить дальше, 4 = 2 · 2.

У каждого составного числа разложение одно. Можно переставить множители местами, но набор останется тем же: в 12 всегда две двойки и одна тройка.

Делить наугад долго. Помогают признаки делимости, они подсказывают делитель без деления:

Когда остановиться. Если число не делится ни на одно простое, квадрат которого не больше самого числа, оно простое. Возьмём 97: на 2, 3, 5 и 7 оно не делится, а 11 · 11 = 121 уже больше 97. Значит, 97 простое, и его разложение 97 = 97.

Разложим на простые множители числа 63, 85, 102 и 132. Их часто дают в одном задании, а столбики у них короткие:

• 63. Последняя цифра нечётная, на 2 не делится. Сумма цифр 6 + 3 = 9, значит, делится на 3: 63 : 3 = 21, 21 : 3 = 7. Ответ: $63=3\cdot 3\cdot 7=3^2\cdot 7$63 = 3 · 3 · 7 = 3² · 7.
• 85. Оканчивается на 5: 85 : 5 = 17. Число 17 простое. Ответ: 85 = 5 · 17.
• 102. Чётное: 102 : 2 = 51. Сумма цифр 51 равна 6: 51 : 3 = 17. Ответ: 102 = 2 · 3 · 17.
• 132. Чётное: 132 : 2 = 66, 66 : 2 = 33, 33 : 3 = 11. Ответ: $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11=2^2\cdot 3\cdot 11$132 = 2 · 2 · 3 · 11 = 2² · 3 · 11.
• 98. Чётное: 98 : 2 = 49, дальше 49 : 7 = 7. Ответ: $98=2\cdot 7\cdot 7=2\cdot 7^2$98 = 2 · 7 · 7 = 2 · 7².

Своё число проверь в калькуляторе разложения на простые множители: он покажет такой же столбик и ответ со степенями.

Разложение пригодится в 6 классе и дальше.

НОД и НОК. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное ищут через разложение. Как именно, разобрано в статье НОД и НОК, а посчитать можно в калькуляторе НОД и НОК.

Сокращение дробей. Разложи числитель и знаменатель и вычеркни общие множители:

$\frac{84}{126}=\frac{2\cdot 2\cdot 3\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 3\cdot 7}=\frac{2}{3}$84/126 = (2 · 2 · 3 · 7)/(2 · 3 · 3 · 7) = 2/3

Корни в 8 классе. $\sqrt{144}=\sqrt{2^4\cdot 3^2}=2^2\cdot 3=12$√144 = √(2⁴ · 3²) = 2² · 3 = 12. Для корня каждый показатель делят пополам.

ОГЭ. Делимость натуральных чисел и разложение на простые множители входят в проверяемые элементы содержания. Список элементов есть в кодификаторе ОГЭ на сайте ФИПИ.

$72=2^3\cdot 3^2$72 = 2³ · 3², значит, делителей (3 + 1) · (2 + 1) = 12.

Сами делители получаются из тех же множителей: бери двойку от 0 до 3 раз, тройку от 0 до 2 раз и перемножай. Удобно таблицей:

Все 12 делителей числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Ни один не потерялся.

Шесть чисел для самостоятельной работы. Разложи число на листочке, потом нажми на карточку и сверься.

Ещё пять заданий с проверкой ответа и подсказками ниже, в блоке «Реши 5 подряд».

• Пишут 1 в разложение. 12 = 1 · 2 · 2 · 3 неверно: 1 не простое число. Верно: 12 = 2 · 2 · 3.
• Останавливаются на составном. 36 = 2 · 18 ещё не ответ, 18 раскладывается дальше. Верно: 36 = 2 · 2 · 3 · 3.
• Считают 9, 15, 21, 27 простыми. 9 = 3 · 3, 15 = 3 · 5, 21 = 3 · 7, 27 = 3 · 3 · 3. Все делятся на 3.
• Пропускают повторный делитель. 40 : 2 = 20, и сразу пробуют 5. А 20 тоже делится на 2. Верно: $40=2^3\cdot 5$40 = 2³ · 5.
• Путают показатель с множителем. $2\cdot 2\cdot 2=2^3$2 · 2 · 2 = 2³, а 2 · 3 равно 6.