8 класс Алгебра 8 мин чтения

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней:

ab = a \cdot b

. Так множитель выносят из-под корня:

50 = 25 \cdot 2 = 52

. Складывать можно только корни с одинаковым подкоренным выражением:

52 + 32 = 82

. Корень в знаменателе убирают домножением:

\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23

. Помни, что

a^{2} = ∣ a ∣

, например

(- 5)^{2} = 5

Проверь себя · 1 из 3

Вычисли

(13)^{2}

Квадратные корни встречаются в формулах площади, длины диагонали, расстояния между точками — без умения их упрощать невозможно решить ни одну геометрическую или физическую задачу. Научившись преобразовывать такие выражения, ты будешь получать ответы в красивом «стандартном» виде, а не оставлять громоздкие дроби.

Содержание 9

Что такое квадратный корень и область допустимых значений

Квадратным корнем из числа $a \geq 0$ называется такое неотрицательное число $b$ , что $b^{2} = a$ . Пишут: $b = a$ .

Важные следствия:

$a^{2} = ∣ a ∣$ для любого $a$ — корень всегда неотрицателен, поэтому нужен модуль.
Под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным: $a \geq 0$ .
$0 = 0$ , $1 = 1$ .

Область допустимых значений (ОДЗ). Если под корнем стоит выражение с переменной, сначала находят ОДЗ — множество значений переменной, при которых подкоренное выражение $\geq 0$ . Например, для $x - 3$ ОДЗ: $x - 3 \geq 0$ , то есть $x \geq 3$ .

Свойства квадратных корней: произведение и частное

Свойство 1 (корень произведения). При

a \geq 0

b \geq 0

a \cdot b = a \cdot b

Свойство 2 (корень частного). При

a \geq 0

b > 0

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

Эти два свойства работают только при неотрицательных подкоренных выражениях. Частая ошибка — применять их к отрицательным числам.

Зачем это нужно? Свойства позволяют:

Выносить множители за знак корня: $12 = 4 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 23$ .
Вносить множители под знак корня: $35 = 9 \cdot 5 = 45$ .
Упрощать дробные корни: $\frac{9}{16} = \frac{3}{4}$ .

Вынесение множителя за знак корня и стандартная форма

Выражение вида $a b$ считается стандартной (упрощённой) формой, если под корнем нет множителей, являющихся полными квадратами.

Алгоритм выноса:

Разложи подкоренное число на множители, выделив наибольший полный квадрат.
Примени свойство корня произведения.
Извлеки корень из полного квадрата.

Пример: $72 = 36 \cdot 2 = 36 \cdot 2 = 62$ .

Внесение под корень — обратная операция. При $a \geq 0$ : $a b = a^{2} \cdot b$

Например: $53 = 25 \cdot 3 = 75$ .

Внимание: если перед корнем стоит отрицательный коэффициент, само выражение отрицательно, и вносить его под корень нельзя без учёта знака: $- 53 \neq = 75$ .

Сложение и вычитание выражений с корнями

Складывать и вычитать можно только подобные корни — корни с одинаковым подкоренным выражением.

$a c + b c = (a + b) c$

Это полная аналогия сложения подобных слагаемых в алгебре.

Если подкоренные выражения разные, сначала упрощают каждый корень, и только потом смотрят, есть ли подобные:

$12 + 27 = 23 + 33 = 53$ .

Если после упрощения подкоренные части всё равно разные — сложить нельзя, оставляют в виде суммы.

Рационализация знаменателя

Рационализация — избавление от иррациональности (корней) в знаменателе дроби. В стандартном виде знаменатель должен быть рациональным числом.

Случай 1: знаменатель — одночлен $b$ .

Умножают числитель и знаменатель на $b$ : $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a b}{b}$

Случай 2: знаменатель — двучлен вида $a + b$ или $a - b$ .

Используют формулу разности квадратов: умножают на сопряжённое выражение.

Сопряжённое к $(a + b)$ — это $(a - b)$ .
Произведение: $(a + b) (a - b) = a - b$ .

Пример: $\frac{1}{5 + 2} = \frac{1 \cdot ( 5 - 2 )}{( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )} = \frac{5 - 2}{5 - 2} = \frac{5 - 2}{3}$

Ключевые формулы

a \cdot b = a \cdot b

Корень произведения (a,b ≥ 0)

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

Корень частного (a ≥ 0, b > 0)

a b = a^{2} \cdot b

Вынос за знак корня (a ≥ 0)

(a + b) (a - b) = a - b

Рационализация: сопряжённый двучлен

Запомни

$a^{2} = ∣ a ∣$ , а не просто $a$ — модуль обязателен, если знак $a$ неизвестен.
Подобные корни — только те, у которых одинаковое подкоренное выражение; иначе сложить нельзя.
Перед сложением корней всегда упрости каждый — вынеси полные квадраты.
Знаменатель дроби должен быть рациональным: избавляйся от корней в знаменателе умножением на сопряжённое.
Свойства $ab = a \cdot b$ и $a / b = a / b$ работают только при $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Упростить:

50

Подсказка: Ищи наибольший полный квадрат среди делителей числа.

Разложим 50 на множители, выделив наибольший полный квадрат: $50 = 25 \cdot 2$ .
$50 = 25 \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 52$ .

Ответ:

52

Пример 2

Вычислить:

12 + 27 - 3

Подсказка: Сначала упрости каждый корень, потом собери подобные.

Упрощаем каждый корень: $12 = 4 \cdot 3 = 23$ .
$27 = 9 \cdot 3 = 33$ .
Складываем подобные: $23 + 33 - 3 = (2 + 3 - 1) 3 = 43$ .

Ответ:

43

Пример 3

Рационализировать знаменатель:

\frac{6}{3}

Умножим числитель и знаменатель на $3$ : $\frac{6}{3} = \frac{6 \cdot 3}{3 \cdot 3}$ .
$\frac{6 3}{3} = 23$ .

Ответ:

23

Пример 4

Рационализировать знаменатель:

\frac{3 + 1}{3 - 1}

Подсказка: Знаменатель с двучленом уничтожается формулой разности квадратов — умножь на сопряжённое.

Сопряжённое к $(3 - 1)$ — это $(3 + 1)$ .
Умножаем числитель и знаменатель на $(3 + 1)$ : $\frac{( 3 + 1 ) ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )}$ .
Знаменатель: $(3)^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2$ .
Числитель: $(3 + 1)^{2} = 3 + 23 + 1 = 4 + 23$ .
Итог: $\frac{4 + 2 3}{2} = 2 + 3$ .

Ответ:

2 + 3

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Пишут $a^{2} = a$ вместо $a^{2} = ∣ a ∣$ — корень не может быть отрицательным.
Складывают корни с разными подкоренными выражениями: $2 + 3 \neq = 5$ .
Применяют формулу $ab = a \cdot b$ при отрицательных $a$ или $b$ — это недопустимо в области вещественных чисел.
Оставляют корень в знаменателе: $\frac{1}{2}$ — не стандартная форма, нужно $\frac{2}{2}$ .