Модуль числа. Функция y = |x|: задания с ответами, 8 класс

0 из 10

Модуль числа. Функция y = |x|

…

Примеры заданий с ответами

1Найди

∣ - 7 ∣

Модуль числа — это расстояние от нуля до этого числа на координатной прямой, поэтому он всегда неотрицателен.
Для отрицательного числа модуль равен противоположному ему числу: $∣ - 7 ∣ = 7$ .
Ответ: $7$ .

2Вычисли

∣5 - 9∣

3При каком наименьшем

x

график

y = ∣ x ∣

пересекает прямую

y = 3

Точки пересечения графика $y = ∣ x ∣$ с прямой $y = 3$ найдём из уравнения $∣ x ∣ = 3$ .
Раскрываем модуль: $x = 3$ или $x = - 3$ .
Наименьшее из значений — $- 3$ .
Ответ: $- 3$ .

4Реши уравнение

x^{2} - 2∣ x ∣ - 3 = 0

. Запиши положительный корень.

Так как $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , введём замену $t = ∣ x ∣$ , где $t \geq 0$ : $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ .
Корни квадратного уравнения: $t = 3$ и $t = - 1$ ; подходит только $t = 3$ .
Значит $∣ x ∣ = 3$ , откуда $x = 3$ или $x = - 3$ ; положительный корень $3$ .
Ответ: $3$ .

5Реши уравнение

x^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0

. В ответе укажи наибольший корень.

Так как $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , сделаем замену $t = ∣ x ∣ (t \geq 0)$ : $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ .
Корни $t = 2$ и $t = 3$ . Тогда $∣ x ∣ = 2 \Rightarrow x = \pm 2$ и $∣ x ∣ = 3 \Rightarrow x = \pm 3$ .
Наибольший корень — $3$ .
Ответ: $3$ .

6Найди наименьшее значение функции

y = ∣ x + 3∣ + ∣ x - 1∣ + ∣ x - 4∣

$y = ∣ x + 3∣ + ∣ x - 1∣ + ∣ x - 4∣$ — сумма расстояний от $x$ до точек $- 3, 1, 4$ .
Минимум суммы расстояний до нечётного числа точек достигается в средней (медианной) точке $x = 1$ .
Подставляем $x = 1$ : $∣1 + 3∣ + ∣1 - 1∣ + ∣1 - 4∣ = 4 + 0 + 3 = 7$ .
Ответ: $7$ .