Среднее арифметическое: как найти

В футбольной команде 11 игроков, и вместе им 242 года. Делим: $242:11=22$. Значит ли это, что каждому футболисту ровно 22 года? Нет. Кому-то 19, кому-то 27. Но если раздать все годы поровну, каждому достанется по 22. Говорят: средний возраст футболиста команды равен 22 годам.

Проще говоря, среднее показывает, сколько придётся на каждого, если всё поделить поровну. Было у трёх друзей 2, 5 и 8 конфет. Ссыпали в одну кучу: $2+5+8=15$. Поделили поровну: $15:3=5$. Каждому по 5 конфет. Число 5 и есть среднее арифметическое чисел 2, 5 и 8.

Правило в два шага:

1. Сложи все числа.
2. Раздели сумму на то, сколько чисел ты сложил.

Для двух чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2}$

Для трёх чисел $a$, $b$ и $c$:

$\frac{a+b+c}{3}$

Для любого количества чисел делим на их количество: пять чисел делим на 5, семь чисел на 7.

Пример с десятичными дробями. Найдём среднее арифметическое чисел 10,3 и 9,1:

$\frac{10,3+9,1}{2}=\frac{19,4}{2}=9,7$

Среднее не обязано быть целым и не обязано совпадать ни с одним из чисел. У чисел 1 и 2 среднее равно $1,5$.

Отметь на координатном луче числа 2 и 6. Их среднее арифметическое: $(2+6):2=4$. Точка 4 стоит ровно посередине между 2 и 6: до каждой из них по 2 единичных отрезка.

Это верно для любых двух чисел: их среднее арифметическое лежит в середине отрезка между ними.

Отсюда простая проверка. Среднее нескольких чисел всегда не меньше самого маленького из них и не больше самого большого. Если у чисел 3, 8 и 10 у тебя вышло среднее 12, ищи ошибку: больше 10 оно получиться не может.

Часто, называя величину, имеют в виду её среднее значение.

Урожай. «С 1 гектара собрали 38 центнеров пшеницы». С одного участка могли собрать 35 ц, с другого 41 ц. Число 38 получили так: весь урожай разделили на площадь всего поля. Это средняя урожайность.

Скорость. Автомобиль проехал 120 км за 1,5 ч. Делим путь на время: $120:1,5=80$ км/ч. Это средняя скорость. В пути машина стояла на светофорах, где-то ехала 90 км/ч, где-то 60 км/ч. А в среднем вышло 80 км/ч.

Оценки. Средний балл в журнале считают как обычное среднее арифметическое: сумму оценок делят на их количество.

Средняя температура за неделю, средний возраст класса, средняя цена покупки устроены так же: что-то общее делим на количество.

Здесь легко ошибиться. Автомобиль ехал 4 ч со скоростью 54 км/ч и 2 ч со скоростью 60 км/ч. Хочется сложить скорости и разделить на 2: $(54+60):2=57$. Это неверно. С меньшей скоростью машина ехала дольше, и это надо учесть.

Правильно так:

1. Путь на первом участке: $54\cdot 4=216$ км.
2. Путь на втором участке: $60\cdot 2=120$ км.
3. Весь путь: $216+120=336$ км.
4. Всё время: $4+2=6$ ч.
5. Средняя скорость: $336:6=56$ км/ч.

$v_{\text{ср}}=\frac{\text{весь путь}}{\text{всё время}}$

Так же считают среднюю цену. Купили печенье двух видов по разной цене: всю стоимость делим на всю массу, а не две цены на 2.

Из правила «сумма разделить на количество равно среднему» следует обратное:

$\text{сумма}=\text{среднее}\cdot \text{количество}$

Это ключ к задачам, где неизвестно одно из чисел.

Среднее арифметическое чисел 7,8 и $x$ равно 7,2. Чисел два, значит их сумма $7,2\cdot 2=14,4$. Тогда $x=14,4-7,8=6,6$.

Проверка: $(7,8+6,6):2=14,4:2=7,2$. Сходится.

Этим же приёмом решают задачи про средний балл: какую оценку нужно получить, чтобы среднее стало нужным.