8 класс Алгебра 11 мин чтения

Биквадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным

Q: Как решать биквадратные уравнения?

Сделай замену x² = t, реши квадратное уравнение для t, отбрось отрицательные корни и найди x = ±√t. x⁴ - 13x² + 36 = 0: t = 4 и t = 9, x = ± 2 и ± 3.

Q: Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

От нуля до четырёх. Каждый положительный корень t даёт два корня x, корень t = 0 даёт x = 0, а отрицательный t корней не даёт.

Q: Что такое биквадратное уравнение?

Уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. В нём есть только x⁴, x² и число.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Биквадратное уравнение имеет вид

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

. Его решают заменой

x^{2} = t

: получается обычное квадратное уравнение. Потом из каждого неотрицательного корня

t

находят

x

. Например, у уравнения

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

корни

\pm 2

\pm 3

Проверь себя · 1 из 3

Какое уравнение получится из уравнения

x^{4} - 11 x^{2} + 1 = 0

после замены

x^{2} = t

Уравнение четвёртой степени выглядит страшно. Но если в нём есть только $x^{4}$ , $x^{2}$ и число, его решают как квадратное. Нужна одна замена. Этот же приём помогает и в более сложных уравнениях, похожие бывают на ОГЭ в задаче № 20. Разберём замену, сколько бывает корней и как не потерять корни.

x⁴ − 13x² + 36 = 0: корни ±2 и ±3

Как решить биквадратное уравнение

Сделай замену $x^{2} = t$ .
Реши квадратное уравнение для $t$ .
Отбрось отрицательные $t$ .
Для каждого $t > 0$ запиши $x = \pm t$ , для $t = 0$ корень $x = 0$ .
Запиши все корни $x$ .

Пример. $x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$ : $t = 9$ или $t = - 4$ . Подходит $t = 9$ , значит, $x = \pm 3$ .

Содержание 11

Что такое биквадратное уравнение

Определение. Биквадратное уравнение это уравнение вида

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

, где

a \neq = 0

«Би» значит «дважды»: $x^{4}$ это квадрат от $x^{2}$ .

Примеры:

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ;
$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ ;
$x^{4} - 9 x^{2} = 0$ .

Уравнение $x^{4} - x^{3} + 2 = 0$ не биквадратное: в нём есть $x^{3}$ .

Замена переменной

Обозначим $x^{2} = t$ . Тогда $x^{4} = t^{2}$ , и уравнение становится квадратным:

$a t^{2} + b t + c = 0$

Решим уравнение:

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$

Замена $x^{2} = t$ даёт $t^{2} - 13 t + 36 = 0$ .
По теореме Виета $t = 4$ или $t = 9$ .
Возвращаемся к $x$ : $x^{2} = 4$ или $x^{2} = 9$ .
Отсюда $x = \pm 2$ или $x = \pm 3$ .

Ответ: $\pm 2$ ; $\pm 3$ , то есть четыре корня.

Главное не забыть шаг 3: найти $t$ мало, ответ нужен для $x$ .

Сколько корней у биквадратного уравнения

$t = x^{2}$ не бывает отрицательным. Поэтому каждый корень $t$ даёт своё число корней $x$ :

Корень $t$	Корни $x$
$t > 0$	два: $\pm t$
$t = 0$	один: $0$
$t < 0$	нет

У биквадратного уравнения бывает от $0$ до $4$ корней. Четыре получается, когда оба корня $t$ положительные.

Неполные биквадратные уравнения

Если в уравнении нет $x^{2}$ или нет числа, замена не нужна.

Нет числа. Выносим $x^{2}$ за скобки:

$x^{4} - 9 x^{2} = 0$

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Корни: $0$ и $\pm 3$ .

Нет $x^{2}$ . Из $x^{4} = 16$ получаем $x^{2} = 4$ , корни $\pm 2$ .

А у уравнения $x^{4} + 5 = 0$ корней нет: $x^{4}$ не бывает отрицательным.

Замена в других уравнениях

Замена помогает, когда в уравнении повторяется одно и то же выражение.

Пример 1.

$(2 x - 1)^{4} + (2 x - 1)^{2} - 2 = 0$

Замена $t = (2 x - 1)^{2}$ даёт $t^{2} + t - 2 = 0$ .

Пример 2.

$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$

Замена $t = x^{2} - 2 x$ даёт $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ . Здесь $t$ может быть и отрицательным, потому что $x^{2} - 2 x$ не квадрат.

Пример 3. В уравнении $6 x + 5 x + 1 = 0$ заменяют $t = x$ . Здесь $t$ не бывает отрицательным.

Ключевые формулы

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

Биквадратное уравнение

a t^{2} + b t + c = 0

После замены

x^{2} = t

x = \pm t

Возврат к

x

при

t > 0

Запомни

Биквадратное уравнение решают заменой $x^{2} = t$ .
Отрицательный $t$ корней не даёт.
Каждый положительный $t$ даёт два корня $x$ .
Корней бывает от $0$ до $4$ .
После $t$ обязательно вернись к $x$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решите уравнение

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

Замена $x^{2} = t$ : $t^{2} - 13 t + 36 = 0$ .
$t = 4$ или $t = 9$ .
$x = \pm 2$ или $x = \pm 3$ .

Ответ:

\pm 2

;

\pm 3

Пример 2

Решите уравнение

x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0

Замена $x^{2} = t$ : $t^{2} - 5 t - 36 = 0$ .
$D = 169$ , $t = 9$ или $t = - 4$ .
$t = - 4$ не подходит. Из $x^{2} = 9$ получаем $x = \pm 3$ .

Ответ:

\pm 3

Пример 3

Решите уравнение

4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0

Замена $x^{2} = t$ : $4 t^{2} - 5 t + 1 = 0$ .
$D = 9$ , $t = \frac{1}{4}$ или $t = 1$ .
$x = \pm \frac{1}{2}$ или $x = \pm 1$ .

Ответ:

\pm \frac{1}{2}

;

\pm 1

Пример 4

Решите уравнение

x^{4} + 3 x^{2} + 2 = 0

Замена: $t^{2} + 3 t + 2 = 0$ , $t = - 1$ или $t = - 2$ .
Оба корня отрицательные. Корней нет.

Ответ: корней нет

Пример 5

Решите уравнение

x^{4} - 9 x^{2} = 0

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ .
$x = 0$ или $x = \pm 3$ .

Ответ:

0

;

\pm 3

Пример 6

Решите уравнение

(2 x - 1)^{4} + (2 x - 1)^{2} - 2 = 0

Замена $t = (2 x - 1)^{2}$ : $t^{2} + t - 2 = 0$ , $t = 1$ или $t = - 2$ .
$t = - 2$ не подходит: квадрат не бывает отрицательным.
$(2 x - 1)^{2} = 1$ : $2 x - 1 = 1$ или $2 x - 1 = - 1$ .
$x = 1$ или $x = 0$ .

Ответ:

0

;

1

Пример 7

Решите уравнение

(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0

Замена $t = x^{2} - 2 x$ : $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ , $t = 3$ или $t = - 1$ .
$x^{2} - 2 x = 3$ даёт $x = 3$ или $x = - 1$ .
$x^{2} - 2 x = - 1$ даёт $(x - 1)^{2} = 0$ , $x = 1$ .

Ответ:

- 1

;

1

;

3

Пример 8

Решите уравнение

6 x + 5 x + 1 = 0

Замена $t = x$ , $t \geq 0$ : $6 t^{2} + 5 t + 1 = 0$ .
$t = - \frac{1}{2}$ или $t = - \frac{1}{3}$ .
Оба отрицательные, а $x$ не бывает отрицательным. Корней нет.

Ответ: корней нет

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Останавливаются на $t$ . Ответ нужен для $x$ .
Теряют отрицательные корни: из $x^{2} = 9$ следует $x = 3$ и $x = - 3$ .
Извлекают корень из отрицательного $t$ .
Делят $x^{4} - 9 x^{2} = 0$ на $x^{2}$ и теряют корень $0$ .
Отбрасывают отрицательный $t$ , когда замена не квадрат, например $t = x^{2} - 2 x$ .

Частые вопросы

Как решать биквадратные уравнения?

Сделай замену

x^{2} = t

, реши квадратное уравнение для

t

, отбрось отрицательные корни и найди

x = \pm t

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

t = 4

t = 9

x = \pm 2

\pm 3

Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

От нуля до четырёх. Каждый положительный корень

t

даёт два корня

x

, корень

t = 0

даёт

x = 0

, а отрицательный

t

корней не даёт.

Что такое биквадратное уравнение?

Уравнение вида

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

, где

a \neq = 0

. В нём есть только

x^{4}

x^{2}

и число.