Биквадратные уравнения и замена переменной, 8 класс

Реши 10 заданий: ответ проверяется сразу, после ответа видно решение.

0 из 10

Биквадратные уравнения и замена переменной

…

Примеры заданий с ответами

1Решите уравнение

x^{4} - 41 x^{2} + 400 = 0

. Запишите корни в порядке возрастания.

Пусть $x^{2} = t$ , тогда $x^{4} = t^{2}$ : $t^{2} - 41 t + 400 = 0$ .
$D = (- 41)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 81$ , $D = 9$ .
$t_{1} = \frac{41 - 9}{2} = 16$ , $t_{2} = \frac{41 + 9}{2} = 25$ .
$x^{2} = 16$ : $x = \pm 4$ ; $x^{2} = 25$ : $x = \pm 5$ .
Ответ: $- 5; - 4; 4; 5$ .

2Сколько корней имеет уравнение

2 x^{4} + 4 x^{2} - 70 = 0

?

Пусть $x^{2} = t$ : $2 t^{2} + 4 t - 70 = 0$ .
$D = 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 70) = 576$ , $D = 24$ .
$t_{1} = \frac{- 4 - 24}{4} = - 7$ , $t_{2} = \frac{- 4 + 24}{4} = 5$ .
$x^{2} = - 7$ : корней нет.
$x^{2} = 5$ : два корня.
Всего корней: $2$ .
Ответ: $2$ .

3Решите уравнение

\frac{2 x ^{2} + 19 x + 35}{- x - 7} = 0

.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$2 x^{2} + 19 x + 35 = 0$ :
$D = 1 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35 = 81$ , $D = 9$ .
$x_{1} = \frac{- 19 - 9}{4} = - 7$ , $x_{2} = \frac{- 19 + 9}{4} = - 2, 5$ .
При $x = - 7$ знаменатель $- x - 7$ равен нулю, этот корень не подходит.
Ответ: $- 2, 5$ .

4Сколько корней имеет уравнение

x - 8 x + 16 = 0

?

Пусть $x = t$ , $t \geq 0$ , тогда $x = t^{2}$ : $t^{2} - 8 t + 16 = 0$ .
$D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 0$ , корень один: $t = \frac{8}{2} = 4$ .
$x = 4$ : $x = 16$ , подходит.
Ответ: $1$ .

5Решите уравнение

(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) = 12

.

Пусть $x^{2} + 2 x = t$ : $(t) (t + 1) = 12$ , то есть $t^{2} + t - 12 = 0$ .
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 49$ , $D = 7$ .
$t_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ , $t_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ .
$x^{2} + 2 x = - 4$ , то есть $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ :
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = - 12$ , $D < 0$ , корней нет.
$x^{2} + 2 x = 3$ , то есть $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ :
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16$ , $D = 4$ .
$x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ .
Ответ: $- 3; 1$ .

6Решите уравнение

\frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{12}{x ^{2} - 9}

.

Допустимые значения: $x \neq = 3$ , $x \neq = - 3$ . Умножим обе части на $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
$(x + 2) (x - 3) + (x - 1) (x + 3) = 12$ .
$x^{2} - x - 6 + x^{2} + 2 x - 3 = 12$ , то есть $2 x^{2} + x - 21 = 0$ .
$D = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21) = 169$ , $D = 13$ .
$x_{1} = \frac{- 1 - 13}{4} = - 3, 5$ , $x_{2} = \frac{- 1 + 13}{4} = 3$ .
$x = 3$ не входит в допустимые значения.
Ответ: $- 3, 5$ .

Другие темы · Алгебра, 8 класс