Центральные и вписанные углы: задания с ответами, 8 класс

0 из 10

Центральные и вписанные углы

…

Примеры заданий с ответами

1Треугольник

A B C

вписан в окружность с центром в точке

O

. Точки

O

C

лежат в одной полуплоскости относительно прямой

A B

. Найдите угол

A C B

, если угол

A O B

равен

169°

. Ответ дайте в градусах.

Точки $O$ и $C$ лежат по одну сторону от $A B$ , поэтому вписанный угол $A C B$ и центральный угол $A O B$ опираются на одну дугу $A B$ .
Вписанный угол равен половине центрального: $∠ A C B = 169° : 2 = 84, 5°$ .

Ответ: 84,5

2Центральный угол

A O C

на

63°

больше вписанного угла

A B C

, опирающегося на дугу

A C

. Найдите угол

A O C

. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $∠ A O C = 2∠ A B C$ .
$∠ A O C - ∠ A B C = 2∠ A B C - ∠ A B C = ∠ A B C$ , значит, $∠ A B C = 63°$ .
$∠ A O C = 2 \cdot 63° = 126°$ .

Ответ: 126

3Четырёхугольник

A B C D

вписан в окружность. Угол

A B C

равен

115°

, угол

C A D

равен

96°

. Найдите угол

A B D

. Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы $D B C$ и $D A C$ опираются на одну дугу $D C$ , поэтому $∠ D B C = ∠ C A D = 96°$ .
$∠ A B D = ∠ A B C - ∠ D B C = 115° - 96° = 19°$ .

Ответ: 19

4На окружности по разные стороны от диаметра

A B

взяты точки

M

N

. Известно, что

∠ N B A = 22°

. Найдите угол

N M B

. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол $A N B$ опирается на диаметр, поэтому он прямой, и $∠ N A B = 90° - 22° = 68°$ .
Вписанные углы $N M B$ и $N A B$ опираются на одну дугу $N B$ , поэтому $∠ N M B = ∠ N A B = 68°$ .

Ответ: 68

5Точки

A

B

разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна

144°

, а бо́льшая точкой

M

делится в отношении

3 : 1

, считая от точки

A

. Найдите угол

B A M

. Ответ дайте в градусах.

Бо́льшая дуга $A B$ равна $360° - 144° = 216°$ .
Она делится точкой $M$ на дуги $3 x$ и $x$ : $4 x = 216°$ , $x = 54°$ , $\cup A M = 162°$ , $\cup M B = 54°$ .
Вписанный угол $B A M$ опирается на дугу $M B$ , не содержащую точку $A$ : $∠ B A M = 54° : 2 = 27°$ .

Ответ: 27

6Отрезок

A H

является высотой остроугольного треугольника

A B C

, точка

O

является центром окружности, описанной около этого треугольника,

∠ A B C = 79°

∠ A C B = 48°

. Найдите угол

H A O

. Ответ дайте в градусах.

Центральный угол $A O C$ и вписанный угол $A B C$ опираются на одну дугу $A C$ : $∠ A O C = 2 \cdot 79° = 158°$ .
$O A = O C$ (радиусы), поэтому $∠ O A C = (180° - 158°) : 2 = 11°$ .
В прямоугольном треугольнике $A H C$ : $∠ H A C = 90° - 48° = 42°$ .
$∠ H A O = ∠ H A C - ∠ O A C = 42° - 11° = 31°$ .

Ответ: 31