Выражения и их преобразования. Числовые выражения и выражения с переменными

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, соединённых знаками арифметических действий и скобок. Примеры: $3+7$, $\frac{15}{5}-2$, $(4+6)\cdot 3$.

Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех указанных действий. Сказать «вычислить выражение» — значит найти его значение.

Порядок действий строгий:

1. Сначала — действия в скобках (от внутренних к внешним).
2. Затем — умножение и деление (слева направо).
3. Последними — сложение и вычитание (слева направо).

Выражение не имеет значения, если в нём встречается деление на ноль. Например, $\frac{8}{0}$ — запись, не имеющая смысла. Это нужно помнить всегда.

Переменная — это буква, которая обозначает неизвестное или произвольное число. Как переменные чаще всего используют буквы $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $n$ и другие.

Выражение с переменной (алгебраическое выражение) — это запись, в которой кроме чисел и знаков действий есть переменные. Примеры: $2x+5$, $\frac{a+b}{3}$, $n^2-1$.

Значение выражения находят подстановкой: вместо переменной подставляют конкретное число и вычисляют. Например, при $x=3$: $2x+5=2\cdot 3+5=11$. При разных значениях переменной значение выражения, как правило, меняется.

Допустимые значения переменной — это те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, в выражении $\frac{1}{x-2}$ значение $x=2$ недопустимо: знаменатель обращается в нуль. При всех остальных значениях $x$ выражение имеет смысл.

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Примеры тождеств:

$a+b=b+a$ — переместительный закон сложения.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ — распределительный закон.

Важно различать проверку и доказательство. Подстановка нескольких значений может только опровергнуть тождество: если хотя бы при одном наборе чисел равенство оказалось неверным, это уже не тождество. А вот доказать тождество подстановкой нельзя — для этого одну часть равенства преобразуют и приводят к виду другой части.

Тождественное преобразование — это замена одного выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных. Такие преобразования не меняют значение выражения — они меняют только его форму. В этом и состоит суть алгебры: приводить выражения к удобному виду, сохраняя их значение.

Эти свойства — главные инструменты для преобразований, и знать их нужно наизусть.

Сложение:

• Переместительное: $a+b=b+a$
• Сочетательное: $(a+b)+c=a+(b+c)$

Умножение:

• Переместительное: $a\cdot b=b\cdot a$
• Сочетательное: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Распределительное свойство (умножение относительно сложения):

• $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ — раскрытие скобок.
• $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ — тот же закон, когда скобка стоит слева.

Оно работает и при вычитании: $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$.

Вынесение общего множителя за скобку — обратная операция: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$.

Правило знаков при раскрытии скобок:

• Перед скобкой стоит $+$: знаки слагаемых внутри не меняются.
• Перед скобкой стоит $-$: знаки всех слагаемых меняются на противоположные.

Подобные слагаемые — это члены выражения с одинаковой буквенной частью (одинаковыми переменными в одинаковых степенях). Например: $3x$ и $7x$ — подобные; $5a^2$ и $-2a^2$ — подобные; $4x$ и $4x^2$ — не подобные, потому что степени разные.

Приведение подобных слагаемых — это сложение или вычитание их коэффициентов; буквенная часть остаётся прежней.

Простой пример: $3x+7x=(3+7)x=10x$.

Пример сложнее: $5a-2b+3a+b=(5a+3a)+(-2b+b)=8a-b$.

Упростить выражение — значит выполнить цепочку тождественных преобразований и привести выражение к более простому виду: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, при необходимости вынести общий множитель за скобку.