Гомотетия и подобие фигур

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ ($k\ne 0$) — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A_1$ такую, что:

• точки $O$, $A$, $A_1$ лежат на одной прямой;
• выполняется $\overrightarrow{O{A}_1}=k\cdot \overrightarrow{OA}$.

Что означает знак $k$:

• $k>0$: точки $A$ и $A_1$ находятся по одну сторону от центра $O$.
• $k<0$: точки $A$ и $A_1$ находятся по разные стороны от $O$ (гомотетия с отрицательным коэффициентом совмещает гомотетию и центральную симметрию).
• $|k|>1$: фигура увеличивается; $0<|k|<1$: фигура уменьшается; $k=1$: тождественное преобразование; $k=-1$: центральная симметрия.

Как построить образ точки $A$:

1. Соединить $O$ и $A$ прямой.
2. Отложить от $O$ отрезок $O{A}_1=|k|\cdot OA$ в ту же сторону (если $k>0$) или в противоположную (если $k<0$).

Образ любой прямой, не проходящей через $O$, — прямая, параллельная исходной. Образ прямой, проходящей через $O$, — та же самая прямая.

Две фигуры называются подобными, если одна переходит в другую при помощи гомотетии (возможно, в сочетании с движением — поворотом или симметрией).

Коэффициент подобия $k$ — это отношение соответственных длин в подобных фигурах. Если $F_1\sim F_2$ с коэффициентом $k$, то каждый отрезок фигуры $F_1$ в $|k|$ раз больше соответственного отрезка фигуры $F_2$ (или меньше, если $|k|<1$).

Важное следствие: при подобии все углы сохраняются, а все длины умножаются на $|k|$.

Подобие треугольников — наиболее часто встречающийся частный случай. Два треугольника подобны ($△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$), если:

• три угла одного равны трём углам другого (признак AA),
• две стороны и угол между ними пропорциональны (признак SAS),
• все три стороны пропорциональны (признак SSS).

Запись $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$ означает, что вершины перечислены в соответственном порядке: $\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$, $\angle C=\angle C_1$.

Пусть $F_1\sim F_2$ с коэффициентом подобия $k$. Тогда:

1. Периметры. Периметр $F_1$ относится к периметру $F_2$ как $k:1$.

2. Площади. Площадь $F_1$ относится к площади $F_2$ как $k^2:1$. Это принципиально важно: при двукратном увеличении всех сторон площадь вырастает в четыре раза.

3. Соответственные углы подобных фигур равны.

4. Соответственные стороны пропорциональны: $\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{CA}{C_1{A}_1}=k$.

Эти свойства позволяют решать задачи на нахождение неизвестных сторон, углов и площадей через коэффициент подобия.

Если две подобные фигуры не конгруэнтны и не параллельно смещены относительно друг друга, то существует центр гомотетии — точка, из которой одна фигура «растянута» в другую.

Как найти центр гомотетии для двух подобных треугольников:
Соединить соответственные вершины прямыми. Если треугольники расположены по одну сторону от предполагаемого центра (коэффициент $k>0$), эти прямые пересекутся в одной точке — это и есть центр гомотетии $O$.

Практическое применение. Задачи на нахождение центра подобия встречаются при доказательстве теорем о вписанных и описанных окружностях, а также в задачах на построение.