9 класс Геометрия 9 мин чтения

Движения. Осевая и центральная симметрии

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния; осевая и центральная симметрии — два важнейших вида движений, встречающихся в природе, архитектуре и задачах геометрии.

Проверь себя · 1 из 3

Найдите координаты точки, симметричной точке

A (- 1; 2)

относительно начала координат.

Посмотри на снежинку или на букву «А»: левая половина — зеркальное отражение правой. Именно это явление описывает осевая симметрия, а центральная симметрия объясняет, почему шахматная доска выглядит одинаково после поворота на 180°.

симметрия сохраняет форму и размеры фигуры

Содержание 10

Что такое движение

Определение. Движением (или изометрией) называется такое преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется.

То есть если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A_{1}$ и $B_{1}$ , то $A_{1} B_{1} = A B$ .

Следствие. При движении сохраняются:

длины отрезков,
величины углов,
формы и размеры фигур.

Фигура, полученная в результате движения, равна исходной (не просто подобна, а именно равна — совпадает при наложении).

Основные виды движений плоскости:

осевая симметрия,
центральная симметрия,
параллельный перенос,
поворот.

В этой теме подробно разбираем первые два.

Осевая симметрия

Определение. Точка

A_{1}

называется симметричной точке $A$ относительно прямой $l$ , если прямая

l

является серединным перпендикуляром к отрезку

A A_{1}

Иными словами: $l ⊥ A A_{1}$ и $l$ проходит через середину $A A_{1}$ .

Частный случай: если точка $A$ лежит на прямой $l$ , то она симметрична сама себе: $A_{1} = A$ .

Осевая симметрия (отражение относительно прямой $l$ ) — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в симметричную ей точку $A_{1}$ относительно прямой $l$ . Прямая $l$ называется осью симметрии.

Как построить симметричную точку:

Из точки $A$ опустить перпендикуляр на прямую $l$ , получить основание $H$ .
Отложить от $H$ по перпендикуляру такой же отрезок в другую сторону: $A_{1} H = A H$ .

Свойства осевой симметрии:

Осевая симметрия — движение (сохраняет расстояния).
Прямые, параллельные оси, переходят в параллельные прямые.
Прямая, перпендикулярная оси, переходит в себя (как прямая, хотя точки на ней смещаются).
При двух последовательных осевых симметриях относительно параллельных осей получается параллельный перенос; относительно пересекающихся — поворот.

Фигура, симметричная данной относительно прямой: строится поточечно — каждая вершина фигуры переходит в симметричную точку.

Центральная симметрия

Определение. Точка

A_{1}

называется симметричной точке $A$ относительно точки $O$ , если

O

является серединой отрезка

A A_{1}

То есть $O A_{1} = O A$ и точки $A$ , $O$ , $A_{1}$ лежат на одной прямой, причём $O$ — между $A$ и $A_{1}$ .

Частный случай: точка $O$ симметрична сама себе.

Центральная симметрия (отражение относительно точки $O$ ) — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в симметричную ей точку $A_{1}$ относительно точки $O$ . Точка $O$ называется центром симметрии.

Как построить симметричную точку:

Провести луч из $O$ через точку $A$ .
Отложить от $O$ отрезок $O A_{1} = O A$ в сторону, противоположную от $A$ .

Свойства центральной симметрии:

Центральная симметрия — движение (сохраняет расстояния).
При центральной симметрии прямая переходит в параллельную прямую (если прямая не проходит через центр).
Если прямая проходит через центр $O$ , она переходит в себя.
Центральная симметрия равносильна повороту на $18 0^{\circ}$ вокруг точки $O$ .
При двух последовательных центральных симметриях относительно разных центров получается параллельный перенос.

Фигуры, симметричные друг другу относительно точки: равны (равновелики и равны по форме), но ориентация «переворачивается».

Сравнение осевой и центральной симметрий

Удобно сравнить оба преобразования:

	Осевая	Центральная
Задаётся	прямой $l$	точкой $O$
На месте остаются	все точки оси $l$	только центр $O$
Похожа на	отражение в зеркале	поворот на $18 0^{\circ}$

Важный факт. Любое движение плоскости можно представить как композицию не более трёх осевых симметрий.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура симметрична сама себе. Например, у равнобедренного треугольника есть одна ось симметрии (биссектриса при вершине угла между равными сторонами).

Центр симметрии фигуры — точка $O$ такая, что при центральной симметрии относительно неё фигура переходит в себя. Например, у параллелограмма центр симметрии — точка пересечения диагоналей; у круга — его центр.

Применение и связь с другими темами

Где встречается осевая симметрия:

равнобедренный треугольник (1 ось),
прямоугольник (2 оси),
ромб (2 оси),
квадрат (4 оси),
правильный $n$ -угольник ( $n$ осей),
окружность (бесконечно много осей).

Где встречается центральная симметрия:

параллелограмм (центр — пересечение диагоналей),
окружность (центр — центр окружности),
правильный $n$ -угольник при чётном $n$ .

Связь с доказательствами. Признаки равенства треугольников остаются в силе при движениях: если треугольник $A B C$ переходит в $A_{1} B_{1} C_{1}$ при движении, то $△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Практический приём. Чтобы доказать, что два отрезка или угла равны, можно указать движение (осевую или центральную симметрию), переводящее один в другой.

Ключевые формулы

A H = A_{1} H, l ⊥ A A_{1}

Симметричная точка: расстояние до оси равно с обеих сторон

O A = O A_{1}

Симметричная точка относительно центра: середина отрезка

A_{1} B_{1} = A B

Движение сохраняет расстояния

φ = 18 0^{\circ}

Центральная симметрия = поворот на 180°

Запомни

Движение — преобразование, сохраняющее расстояния; фигура и её образ при движении равны.
При осевой симметрии ось — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точку и её образ.
При центральной симметрии центр — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
Центральная симметрия равносильна повороту на $18 0^{\circ}$ вокруг центра.
Фигура имеет ось симметрии, если отражение относительно этой прямой переводит фигуру в себя; центр симметрии — если поворот на $18 0^{\circ}$ вокруг этой точки переводит фигуру в себя.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Дана точка

A

и прямая

l

. Перпендикуляр из

A

на

l

имеет основание

H

, причём

A H = 3

см. Найдите расстояние от симметричной точки

A_{1}

до прямой

l

По определению осевой симметрии прямая $l$ является серединным перпендикуляром отрезка $A A_{1}$ .
Значит, $H$ — середина $A A_{1}$ и $A_{1} H = A H$ .
$A_{1} H = 3$ см.

Ответ: Расстояние от

A_{1}

до прямой

l

равно

3

см.

Пример 2

Точки

A (2; 5)

O (0; 0)

. Найдите координаты точки

A_{1}

, симметричной

A

относительно точки

O

По определению центральной симметрии $O$ — середина отрезка $A A_{1}$ .
Из формулы середины отрезка: $\frac{x _{A} + x _{A_{1}}}{2} = x_{O}$ , поэтому $x_{A_{1}} = 2 x_{O} - x_{A} = 2 \cdot 0 - 2 = - 2$ .
Аналогично: $y_{A_{1}} = 2 y_{O} - y_{A} = 2 \cdot 0 - 5 = - 5$ .

Ответ:

A_{1} (- 2; - 5)

Пример 3

Дан треугольник

A B C

, в котором

A B = A C

. Докажите, что медиана

A M

(где

M

— середина

B C

) является осью симметрии треугольника

A B C

Подсказка: В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота из вершинного угла совпадают — это ключ к доказательству.

Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $A M$ .
Точка $A$ лежит на оси, значит $A_{1} = A$ .
Точка $M$ — середина $B C$ и тоже лежит на прямой $A M$ , значит $M_{1} = M$ .
Покажем, что $B$ переходит в $C$ : нужно убедиться, что $A M ⊥ B C$ и $B M = M C$ .
В равнобедренном треугольнике медиана из вершинного угла одновременно является биссектрисой и высотой, значит $A M ⊥ B C$ .
Следовательно, прямая $A M$ — серединный перпендикуляр отрезка $B C$ , и $B_{1} = C$ .
Таким образом, осевая симметрия относительно $A M$ переводит треугольник $A B C$ в треугольник $A C B$ , то есть в себя.

Ответ: Медиана

A M

равнобедренного треугольника является его осью симметрии.

Пример 4

Дан параллелограмм

A B C D

. Диагонали пересекаются в точке

O

. Докажите, что

O

является центром симметрии параллелограмма.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит $O A = O C$ и $O B = O D$ .
Рассмотрим центральную симметрию относительно точки $O$ .
Так как $O A = O C$ и $A$ , $O$ , $C$ лежат на одной прямой (диагональ $A C$ ), то $A_{1} = C$ и $C_{1} = A$ .
Аналогично $B_{1} = D$ и $D_{1} = B$ .
При этом сторона $A B$ переходит в сторону $C D$ : точка $A$ переходит в $C$ , точка $B$ — в $D$ , значит отрезок $A B$ переходит в отрезок $C D$ .
Аналогично сторона $B C$ переходит в $D A$ .
Следовательно, центральная симметрия относительно $O$ переводит параллелограмм $A B C D$ в параллелограмм $C D A B$ , то есть в себя.

Ответ: Точка пересечения диагоналей

O

является центром симметрии параллелограмма.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают ось и центр симметрии: ось — это прямая, центр — точка; не нужно смешивать два разных преобразования.
При построении симметричной точки относительно прямой забывают проверить перпендикулярность: опущенный перпендикуляр должен быть именно перпендикулярен оси, а не просто любой прямой к ней.
Считают, что при движении фигура только «похожа» на исходную — на самом деле она ей равна (все длины и углы совпадают).
При центральной симметрии не проверяют, что центр $O$ лежит строго между $A$ и $A_{1}$ на одной прямой — точки нельзя откладывать в произвольном направлении.

Частые вопросы

Чем осевая симметрия отличается от центральной?

При осевой симметрии точка переходит в точку по другую сторону прямой на том же расстоянии, как в зеркале. При центральной точка переходит в точку по другую сторону центра:

O A = O A_{1}

, это поворот на

18 0^{\circ}

Что такое ось симметрии?

Прямая, относительно которой фигура переходит сама в себя. У квадрата четыре оси симметрии, у окружности бесконечно много.