Многогранники: призма, пирамида, правильные многогранники

Многогранник — это геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников (граней), которые попарно смыкаются по рёбрам.

Основные элементы любого многогранника:

• Грань — плоский многоугольник, часть поверхности тела.
• Ребро — общая сторона двух соседних граней.
• Вершина — точка, в которой сходятся три или более рёбер.

Для выпуклых многогранников выполняется формула Эйлера: $V-E+F=2$, где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней. Эта формула связывает элементы любого выпуклого многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от каждой своей грани (все вершины не выходят «за» любую грань).

Призма — многогранник, у которого два основания — одинаковые параллельные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.

Элементы призмы:

• Основания — два параллельных и равных многоугольника.
• Боковые грани — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований.
• Боковые рёбра — рёбра, соединяющие соответствующие вершины оснований.
• Высота призмы $h$ — расстояние между плоскостями оснований.

Прямая призма — призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям. В прямой призме боковые грани — прямоугольники, а длина бокового ребра равна высоте.

Площадь поверхности прямой призмы складывается из площади двух оснований и боковой поверхности:

• Площадь основания: $S_{осн}$
• Боковая поверхность: $S_{бок}=P_{осн}\cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $h$ — высота.
• Полная поверхность: $S=2S_{осн}+S_{бок}$

Объём призмы — произведение площади основания на высоту: $V=S_{осн}\cdot h$. Это правило работает для любой призмы, в том числе наклонной.

Пирамида — многогранник, у которого одно основание — многоугольник, а все остальные грани — треугольники с общей вершиной (апексом).

Элементы пирамиды:

• Основание — многоугольник $ABCD\dots$
• Вершина (апекс) — точка $S$, не лежащая в плоскости основания.
• Боковые грани — треугольники $SAB$, $SBC$ и т.д.
• Боковые рёбра — отрезки от вершины до вершин основания: $SA$, $SB$, $\dots$
• Высота $h$ — перпендикуляр из вершины на плоскость основания.
• Апофема $l$ — высота боковой грани (треугольника), опущенная из вершины пирамиды на сторону основания. Используется для правильных пирамид.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{бок}=\frac{1}{2}{P}_{осн}\cdot l$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $l$ — апофема.

Полная поверхность: $S=S_{осн}+S_{бок}$

Объём пирамиды: $V=\frac{1}{3}{S}_{осн}\cdot h$. Коэффициент $\frac{1}{3}$ означает, что пирамида занимает ровно треть объёма призмы с тем же основанием и той же высотой — это доказывается через разбиение на пирамиды.

Усечённая пирамида — часть пирамиды, отсечённая плоскостью, параллельной основанию. Имеет два параллельных основания — большее и меньшее.

Многогранник называется правильным, если:

1. Все его грани — правильные и одинаковые многоугольники.
2. В каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Существует ровно 5 правильных (платоновых) тел:

Грани у тетраэдра, октаэдра и икосаэдра треугольные, у куба (гексаэдра) квадратные, у додекаэдра пятиугольные.

Можно проверить: для каждого из них $V-E+F=2$.

Куб — шесть квадратов. Самый «понятный» правильный многогранник: все рёбра $a$, площадь поверхности $S=6a^2$, объём $V=a^3$.

Почему именно 5? При построении правильного многогранника в каждой вершине должно быть хотя бы 3 грани, и сумма их углов должна быть меньше $360^{\circ }$. Перебор всех правильных многоугольников даёт ровно 5 допустимых комбинаций.