Параллелограмм и его свойства

Обозначим параллелограмм $ABCD$, где вершины перечислены по порядку. Тогда $AB\parallel CD$ и $BC\parallel AD$.

Основные элементы параллелограмма:

• Стороны: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Стороны $AB$ и $CD$ — противоположные; $BC$ и $AD$ — противоположные.
• Углы: $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$. Углы $\angle A$ и $\angle C$ — противоположные; $\angle B$ и $\angle D$ — противоположные.
• Диагонали: отрезки $AC$ и $BD$, соединяющие противоположные вершины.
• Высота — перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную сторону (или её продолжение). Обозначается $h$.

Частные случаи параллелограмма: прямоугольник (все углы $90^{\circ }$), ромб (все стороны равны), квадрат (все стороны равны и все углы $90^{\circ }$).

Все свойства параллелограмма доказываются через равенство треугольников, на которые его делит диагональ.

Доказательство. Диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на треугольники $ABD$ и $CDB$. Так как $AB\parallel CD$, то $\angle ABD=\angle CDB$ (как накрест лежащие при секущей $BD$). Так как $AD\parallel BC$, то $\angle ADB=\angle CBD$. Сторона $BD$ общая. По признаку равенства треугольников (угол–сторона–угол) $△ABD=△CDB$, откуда $AB=CD$ и $AD=CB$.

Это следует из того же равенства треугольников: $△ABD=△CDB$ даёт $\angle A=\angle C$. Аналогично для другой диагонали.

Почему? Стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ — секущая. Тогда $\angle A$ и $\angle B$ — односторонние углы при параллельных прямых, их сумма равна $180^{\circ }$.

Доказательство. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$. Из параллельности $AB\parallel CD$: $\angle OAB=\angle OCD$ и $\angle OBA=\angle ODC$ (накрест лежащие). Сторона $AB=CD$ (свойство 1). По признаку (угол–сторона–угол) $△AOB=△COD$, откуда $AO=OC$ и $BO=OD$.

Признаки позволяют доказать, что данный четырёхугольник является параллелограммом — это обратная задача к свойствам.

Как применять признаки на практике: в задачах часто нужно доказать, что четыре точки образуют параллелограмм. Находят пару сторон, которые одновременно равны (по расстоянию) и параллельны (по направлению), — это самый быстрый путь.

Формула 1: через основание и высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту:
$S=a\cdot h$,
где $a$ — любая сторона (принятая за основание), $h$ — высота, опущенная на эту сторону.

Почему? Если из параллелограмма срезать прямоугольный треугольник с одного края и приставить его к другому, получится прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Его площадь $S=a\cdot h$.

Формула 2: через две стороны и угол между ними. $S=a\cdot b\cdot \sin (\alpha )$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, $\alpha$ — угол между ними.

Связь с первой формулой: высота $h=b\cdot \sin (\alpha )$, поэтому $a\cdot h=a\cdot b\cdot \sin (\alpha )$.

Пусть параллелограмм $ABCD$ имеет стороны $AB=a$ и $BC=b$, а $\angle ABC=\beta$ — угол при вершине $B$.

Высота $h$, опущенная на сторону $AB$, связана со стороной $BC$ и углом $\beta$:
$h=b\cdot \sin (\beta )$.

Если дан тупой угол (например, $\angle A=\alpha >90^{\circ }$), то смежный с ним угол $\angle B=180^{\circ }-\alpha$ — острый, и высота всё равно вычисляется через синус: $h=b\cdot \sin (\angle B)=b\cdot \sin (180^{\circ }-\alpha )=b\cdot \sin (\alpha )$.

Частный случай: если $\alpha =90^{\circ }$, то $\sin (90^{\circ })=1$ и $S=a\cdot b$ — формула площади прямоугольника.