8 класс Геометрия 7 мин чтения

Сумма углов выпуклого многоугольника

Q: Какая формула суммы углов выпуклого многоугольника?

S = 180° · (n - 2), где n означает число сторон. Для шестиугольника: 180° · 4 = 720°.

Q: Как найти угол правильного многоугольника?

Раздели сумму углов на число углов: (180°(n - 2))/n. У правильного восьмиугольника угол (180° · 6)/8 = 135°.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Сумма внутренних углов любого выпуклого многоугольника с n сторонами равна 180° · (n − 2).

Проверь себя · 1 из 3

Какое из чисел может быть суммой углов выпуклого многоугольника?

Строители проверяют ровность углов комнаты, дизайнеры разбивают паркет на одинаковые плитки — в обоих случаях они неявно пользуются суммой углов многоугольника. Освоив эту тему, ты сможешь находить неизвестный угол любой фигуры, зная лишь её форму.

диагонали делят n-угольник на (n − 2) треугольника → сумма углов (n − 2)·180°

Как найти сумму углов многоугольника

Посчитай вершины многоугольника, это число $n$ . Точки, которые лежат на стороне, вершинами не считаются.
Найди сумму углов: $18 0^{\circ} \cdot (n - 2)$ .
Нужен один неизвестный угол: вычти из суммы все известные углы.
Многоугольник правильный: раздели сумму на $n$ и получишь один угол.

Пример. Семиугольник: $18 0^{\circ} \cdot 5 = 90 0^{\circ}$ . Правильный девятиугольник: сумма $18 0^{\circ} \cdot 7 = 126 0^{\circ}$ , один угол $126 0^{\circ} : 9 = 14 0^{\circ}$ .

Содержание 9

Выпуклый многоугольник: что это такое

Многоугольник — это замкнутая фигура, ограниченная отрезками (сторонами), у которой каждые две соседние стороны не лежат на одной прямой.

Выпуклый многоугольник — многоугольник, у которого любой отрезок, соединяющий две его точки, целиком лежит внутри фигуры (или на её границе). Иначе говоря, все внутренние углы строго меньше $18 0^{\circ}$ .

Примеры выпуклых многоугольников:

треугольник
прямоугольник и квадрат
правильный шестиугольник

Невыпуклый (вогнутый) многоугольник — тот, у которого хотя бы один внутренний угол больше $18 0^{\circ}$ . Формула суммы углов для него тоже верна, но в школьном курсе 8 класса мы работаем только с выпуклыми.

Как получается формула: разбиение на треугольники

Ключевая идея — разбить многоугольник на треугольники, потому что сумма углов треугольника равна $18 0^{\circ}$ — это уже известный факт.

Как разбить: выбери любую вершину многоугольника и проведи из неё все возможные диагонали. Для $n$ -угольника таким образом получится ровно $n - 2$ треугольника.

Почему именно $n - 2$ ? Из выбранной вершины нельзя провести диагональ в две соседние вершины (это были бы стороны), поэтому диагоналей будет $n - 3$ , а они делят многоугольник на $n - 3 + 1 = n - 2$ треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников — это и есть сумма всех внутренних углов многоугольника, потому что углы треугольников в точности складываются в углы при каждой вершине фигуры.

Итого: $S = 18 0^{\circ} \cdot (n - 2)$ .

Фигура	$n$	Сумма углов
Треугольник	3	$18 0^{\circ}$
Четырёхугольник	4	$36 0^{\circ}$
Пятиугольник	5	$54 0^{\circ}$
Шестиугольник	6	$72 0^{\circ}$

Разобрался? Проверь себя

3 задания уровня «Норма», как в контрольной. С проверкой и решением.

Правильный многоугольник: угол при вершине

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Если многоугольник правильный, то каждый из $n$ углов одинаков, поэтому величину одного угла можно найти, разделив сумму на число углов:

$α = \frac{18 0 ^{\circ} \cdot ( n - 2 )}{n}$

Пример: угол правильного шестиугольника равен $\frac{18 0 ^{\circ} \cdot 4}{6} = \frac{72 0 ^{\circ}}{6} = 12 0^{\circ}$ .

Ключевые формулы

S = 18 0^{\circ} \cdot (n - 2)

Сумма углов выпуклого n-угольника

α = \frac{18 0 ^{\circ} \cdot ( n - 2 )}{n}

Угол правильного n-угольника

k = n - 2

Число треугольников при разбиении n-угольника из одной вершины

Запомни

Сумма углов выпуклого $n$ -угольника: $18 0^{\circ} \cdot (n - 2)$ .
Из одной вершины $n$ -угольника диагонали делят его на $n - 2$ треугольника.
Сумма углов треугольника $18 0^{\circ}$ — это основа, из которой выводится формула.
Для правильного многоугольника каждый угол равен $\frac{18 0 ^{\circ} \cdot ( n - 2 )}{n}$ .
Формула работает только для выпуклых многоугольников (все углы меньше $18 0^{\circ}$ ).

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Найди сумму внутренних углов выпуклого семиугольника.

Число сторон: $n = 7$ .
$S = 18 0^{\circ} \cdot (7 - 2) = 18 0^{\circ} \cdot 5 = 90 0^{\circ}$ .

Ответ:

90 0^{\circ}

Пример 2

В выпуклом пятиугольнике четыре угла равны

11 0^{\circ}

9 5^{\circ}

13 0^{\circ}

10 0^{\circ}

. Найди пятый угол.

Сумма всех углов пятиугольника: $S = 18 0^{\circ} \cdot (5 - 2) = 18 0^{\circ} \cdot 3 = 54 0^{\circ}$ .
Сумма четырёх известных углов: $11 0^{\circ} + 9 5^{\circ} + 13 0^{\circ} + 10 0^{\circ} = 43 5^{\circ}$ .
Пятый угол: $∠ E = 54 0^{\circ} - 43 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$ .

Ответ:

∠ E = 10 5^{\circ}

Пример 3

Найди угол правильного девятиугольника.

Сумма всех углов: $S = 18 0^{\circ} \cdot (9 - 2) = 18 0^{\circ} \cdot 7 = 126 0^{\circ}$ .
Угол правильного девятиугольника: $α = \frac{126 0 ^{\circ}}{9} = 14 0^{\circ}$ .

Ответ:

14 0^{\circ}

Пример 4

В выпуклом шестиугольнике

A B C D E F

углы при вершинах

A

B

C

D

равны соответственно

12 0^{\circ}

11 0^{\circ}

13 0^{\circ}

11 5^{\circ}

, а углы

E

F

равны между собой. Найди угол

E

Сумма всех углов шестиугольника: $S = 18 0^{\circ} \cdot (6 - 2) = 18 0^{\circ} \cdot 4 = 72 0^{\circ}$ .
Сумма четырёх известных углов: $12 0^{\circ} + 11 0^{\circ} + 13 0^{\circ} + 11 5^{\circ} = 47 5^{\circ}$ .
Сумма углов $E$ и $F$ : $72 0^{\circ} - 47 5^{\circ} = 24 5^{\circ}$ .
Так как $∠ E = ∠ F$ , получаем: $∠ E = \frac{24 5 ^{\circ}}{2} = 122, 5^{\circ}$ .

Ответ:

∠ E = 122, 5^{\circ}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают число сторон $n$ и число треугольников: треугольников всегда на 2 меньше, чем сторон.
Подставляют $n$ вместо $(n - 2)$ : пишут $18 0^{\circ} \cdot n$ вместо $18 0^{\circ} \cdot (n - 2)$ .
При нахождении неизвестного угла вычитают из $18 0^{\circ}$ (как в треугольнике) вместо суммы углов нужного многоугольника.
Применяют формулу угла правильного многоугольника к неправильному: если углы не равны, делить суммарный угол на $n$ нельзя.

Частые вопросы

Какая формула суммы углов выпуклого многоугольника?

S = 18 0^{\circ} \cdot (n - 2)

, где

n

означает число сторон. Для шестиугольника:

18 0^{\circ} \cdot 4 = 72 0^{\circ}

Как найти сумму углов выпуклого многоугольника?

Проведи из одной вершины все диагонали: многоугольник разобьётся на

n - 2

треугольника. В каждом сумма углов

18 0^{\circ}

, отсюда и формула.

Как найти угол правильного многоугольника?

Раздели сумму углов на число углов:

\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}

. У правильного восьмиугольника угол

\frac{18 0 ^{\circ} \cdot 6}{8} = 13 5^{\circ}